Определение. Пусть — числовой ряд. Число называется -ой частичной суммой ряда .

Пусть — числовой ряд. Число называется -ой частичной суммой ряда .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

[править]Сходимость числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

(1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

(1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

[править]Необходимый признак сходимости ряда

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

3 Необходимый признак сходимости. Признак сходимости Даламбера

Определение: Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных) Числовым рядом называется выражение вида: . Сокращенно ряд обозначают следующим образом: . При этом числа называются членами ряда, - общим членом ряда.   Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд сходиться, то общий член ряда стремиться к нулю при , т.е. . Т.о. если , то ряд расходится. Признак Д’Аламбера [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии При́ знак д’Аламбе́ ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г. Если для числового ряда существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера то ряд расходится. [править]Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме Если существует предел то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится. Замечание. Если , то признак д′ Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. 4 Признак сравнения. Радикальный признак Коши Признак сравнения [править] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов. Содержание [убрать] · 1 Формулировка · 2 Признак сравнения отношений o 2.1 Формулировка · 3 Предельный признак сравнения o 3.1 Формулировка · 4 Литература · 5 Ссылки [править]Формулировка Пусть даны два знакоположительных ряда: и . Тогда, если, начиная с некоторого места (), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда следует сходимость . Или же, если ряд расходится, то расходится и . п·о·р Доказательство [показать] [править]Признак сравнения отношений Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений. [править]Формулировка Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места (), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость . п·о·р Доказательство [показать] [править]Предельный признак сравнения Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме. [править]Формулировка Если и есть строго положительные ряды и , то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .