Доказательство. Евклидово пространство

Евклидово пространство

Определение 1. Линейное пространство L над полем действительных чисел называется евклидовым, если в нем введена функция, которая любой паре векторов ставит в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, обозначаемое символом , и обладающая свойствами:

1) и ;

2) ;

3) ;

4) и .

Обозначение. Евклидово пространство, чаще всего, обозначают: Е. Если размерность исходного линейного пространства равна n, то используют обозначение: .

Для элементов евклидова пространства из свойств 1) - 4) автоматически следуют такие следствия.

Следствие 1. и .

Доказательство.

.

Следствие 2. .

Доказательство.

.

Следствие 3. ,

, .

Доказательство.

Доказательство данного утверждения легко провести методом математической индукции. При и справедливость утверждения следует из свойств 3) - 4) и следствий 1 и 2. Предположим, что утверждение верно при и , т.е. . Это означает, что утверждение будет верно и при всех и .

Покажем, что в этом случае оно остается справедливым и при и . Действительно,

Следствие 4. .

Доказательство.

Справедливость этого утверждения следует из свойства 4 при и свойства 2. Действительно,

; .

Из следствия 4 следует, в частности, что . А это означает автоматически справедливость следствия 5.

Следствие 5. 1) ;

2) .

Теорема 1. Любое конечномерное линейное пространство L является евклидовым.

Доказательство.

Пусть Зафиксируем в нем какой-нибудь базис

Для любых векторов скалярное произведение можно вести опираясь на координаты векторов в этом базисе:

, где .

Справедливость выполнения свойств 1) – 4) проверьте самостоятельно.