Задания по теме. 1. Учитывая, что темп роста переменной равен производной по времени её логарифма, докажите нижеследующие утверждения.

1. Учитывая, что темп роста переменной равен производной по времени её логарифма, докажите нижеследующие утверждения.

(а) Темп роста произведения двух переменных равен сумме темпов роста этих переменных, т.е. если , то .

(б) Темп роста отношения двух переменных равен разности темпов роста этих переменных: если , то .

(в) Если , то .

2. Предположим, что темп роста некоторой переменной постоянен и равен на интервале от 0 до , снижается до 0 в момент , линейно возрастает с 0 до на интервале от до , и остается на уровне после .

(а) Постройте график темпа прироста как функции времени.

(б) Постройте график как функции времени.

3. Опишите, как каждое из нижеследующих событий влияет на положение линий фактических и восстанавливающих инвестиций на базовой диаграмме модели Солоу.

(а) Сокращение нормы амортизации

(б) Увеличение темпов технического прогресса

(в) Рост доли дохода капитала в случае производственной функции Кобба-Дугласа, .

(г) Рабочие прикладывают больше усилий, так что выпуск на единицу эффективного труда при заданной капиталовооруженности эффективного труда оказывается выше.

4. Рассмотрим экономику, в которой наблюдается технический прогресс, однако отсутствует рост населения. Изначально экономика находится на траектории сбалансированного роста. Предположим теперь, что происходит одноразовое скачкообразное увеличение численности рабочей силы.

(а) В момент увеличения численности рабочей силы, выпуск на единицу эффективного труда увеличится, уменьшится или останется неизменным? Почему?

(б) После начального изменения выпуска на единицу эффективного труда (если таковое произойдет), будет ли в дальнейшем наблюдаться увеличение или уменьшение выпуска на единицу эффективного труда? Почему?

(в) После того, как экономика вновь достигнет траектории сбалансированного роста, будет ли выпуск на единицу эффективного труда выше, ниже, или таким же, как до шока? Почему?

5. Предположим, что производственная функция имеет вид Кобба-Дугласа.

(а) Найдите , и как функции от параметров модели , , , и .

(б) Найдите , соответствующее золотому правилу.

(в) Какая норма сбережений требуется для достижения запаса капитала, соответствующего золотому правилу?

6. Экономика, описываемая моделью Солоу, изначально находится на траектории сбалансированного роста. Для простоты допустим, что технический прогресс отсутствует. Предположим теперь, что темп роста населения упал.

(а) Что произойдет с капиталом на одного работника, выпуском на одного работника и потреблением на одного работника на траектории сбалансированного роста?

(б) Как скажется снижение темпов роста населения на динамике выпуска (т.е. выпуска в экономике в целом, а не на одного работника)

7. Определите эластичность выпуска на единицу эффективного труда на траектории сбалансированного роста по темпу роста населения . Пусть , и , а сокращается с 2% до 1%. Как изменится ?

8. Предположим, что отношение инвестиций к выпуску в Соединенных штатах непрерывно возрастает с 0, 15 до 0, 18. Пусть доля дохода капитала в совокупном доходе составляет .

(а) Как в конце концов изменится выпуск по отношению к тому уровню, на котором он был бы без изменения отношения инвестиций к выпуску?

(б) Как в конце концов изменится потребление по отношению к тому уровню, на котором оно было бы без изменения отношения инвестиций к выпуску?

(в) Каково мгновенное воздействие изменения доли инвестиций в выпуске на потребление?

9.

1)

2) По рисунку определите темп прироста капиталовооруженности эффективного труда, если капиталовооруженность эффективного труда составляет 100.

3) По рисунку определите выпуск в расчете на единицу эффективного труда, если капиталовооруженность составляет 100.

4) По рисунку определите, какой объем инвестиций в расчете на единицу эффективного труда необходим для того, что бы капиталовооруженность эффективного труда оставалась на постоянном уровне, равном 500.

5) По рисунку определите фактический объем инвестиций, если население составляет 1 млн чел., параметр эффективности труда равен 200, а запас капитала составляет 100 млрд. рублей.

6) По рисунку определите потребление в расчете на единицу эффективного труда, если капиталовооруженность эффективного труда составляет 100.

7) По рисунку определите потребление на душу населения, если капиталовооруженность эффективного труда составляет 100, а параметр эффективности труда равен 5.

8) По рисунку определите, какая норма сбережений соответствует золотому правилу, если эластичность выпуска по капиталу составляет 0, 4.

9) Каково значение капиталовооруженности эффективного труда, соответствующее золотому правилу, если эластичность выпуска по труду составляет 0, 75?

10) По рисунку определите темп роста экономики на траектории сбалансированного роста, если норма амортизации составляет 3%.

10. Рассмотрите модель Солоу с производственной функцией , в которой динамика технологии и населения задаются как , а правило накопления капитала имеет вид

1) Характеризуется ли производственная функция постоянной отдачей от масштаба?
Постоянной отдачей от труда? Капитала?

2) Запишите производственную функцию в интенсивной форме. Выведите основное уравнение динамики модели Солоу.

3) Найдите капиталовооруженность эффективного труда (k*) на траектории сбалансированного роста (ТСР). Проверьте устойчивость. Найдите выпуск (y*) и потребление (c*) в расчете на одного эффективного работника на ТСР

4) Найдите капитал (K), выпуск (Y) и потребление (С) на ТСР, а также темпы их роста.

5) Найдите ставку процента и заработную плату на единицу эффективного труда на ТСР в предположении совершенной конкуренции на рынках труда и капитала.

6) Проверьте факты Калдора на ТСР:

· выпуск, капитал и труд растут постоянными темпами;

· темпы прироста капитала и выпуска одинаковы и больше темпов прироста труда;

· доли доходов труда и капитала в общем доходе постоянны;

· заработная плата растет с постоянным темпом;

· cтавка процента постоянна;

· норма сбережений постоянна.

7) Найдите норму сбережений, соответствующую максимальному значению потребления на единицу эффективного труда на ТСР.

8) Найдите эластичность капиталовооруженности, выпуска на единицу эффективного труда и потребления на единицу эффективного труда на ТСР по норме сбережений. Найдите эластичность потребления на единицу эффективного труда на ТСР по норме сбережений при выполнении золотого правила, объясните полученный результат.

9) Как изменятся текущий и будущий (на новой ТСР) уровни потребления на единицу эффективного труда при малом увеличении нормы сбережений в случае, когда , где - норма сбережений по золотому правилу? В случае ?

10) Предположим, что выпуск на единицу эффективного труда двух стран различается в 10 раз. Каковы различия в нормах сбережений, если ? Возможно ли это в действительности?

11) Предположим, что запасы капитала двух стран различаются в 64 раза. Каковы должны быть различия в ставках процента, если ? Возможны ли такие различия?

12) Пусть изначально экономика находилась на ТСР, и в момент времени t была изобретена новая технология, которая позволяет увеличить производительность работников в 2 раза. Нарисуйте динамику в ответ на внедрение этой технологии в производство.

11. Рассмотрим две экономики, каждая из которых описывается моделью Солоу с производственной функцией Кобба-Дугласа, долей дохода капитала в общем доходе 1/3, темпом роста населения 2%, нормой амортизации 5% и темпом технического прогресса 2%. Экономики различаются только нормой сбережения: в первой стране она составляет 25% выпуска, во второй – 36%. Определите, во сколько раз различаются выпуски на одного эффективного работника и ставки процента с учётом амортизации между этими экономиками в долгосрочном периоде.

12. Рассмотрите модель Солоу с производственной функцией , динамика технологии и рабочей силы . Правило накопления капитала .

Пусть изначально экономика находится на траектории сбалансированного роста, при этом . В момент времени t происходит дискретное сокращение нормы сбережений до 0, 16. Определить значение темпа прироста ВВП сразу после данного изменения.

13. Модель Солоу находится на траектории сбалансированного роста, затем происходит увеличение темпов роста населения. (1) Изобразите данный шок на диаграмме Солоу. Покажите, какая будет динамика (2) капиталовооруженности эффективного труда, (3) производительности эффективного труда, (4) потребления на единицу эффективного труда, (5) логарифма выпуска, (6) логарифма капитала, (7) логарифма потребления на душу населения, (8) логарифма заработной платы, (9) темпов роста выпуска и (10) ставки процента.