Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Примеры решения задач. 1.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов
|
|
1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов 
. Найти длину волны де Бройля для двух ситуаций: 1) 
= 51 В; 2) = 510 кВ.
 Дано:
 = 51 В;
 = 510 кВ;
 кг;
 Кл
Найти:
 –?  –?
| Решение
Длина волны де Бройля может быть выражена через импульс  частицы и постоянную Планка  (смотри формулу (3.7)):
 .
Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию. При этом важно знать,
|
является частица классической или релятивистской. Для решения этого вопроса сравним в каждом случае кинетическую энергию частицы с энергией покоя
. (3.16)
Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , может быть определена после умножения разности потенциалов на модуль заряда электрона 
:
. (3.17)
Вычисляя по формуле (3.17), получим:
51 эВ = 
МэВ;
510 эВ = 0, 51 МэВ.
Энергию покоя электрона найдем по формуле (3.16):
МэВ.
Очевидно, что 
, а 
. Следовательно, в первой ситуации электрон является классической частицей, а во второй – релятивистской. Поэтому импульс электрона определим следующим образом:
; (3.18)
. (3.19)
С учетом формул (3.18) и (3.19) представим формулу (3.7) в форме, удобной для выполнения вычислений:
; (3.20)
. (3.21)
Вычислим длину волны де Бройля по формулам (3.20) и (3.21) с учетом найденных ранее значений кинетической энергии электрона:
;
.
Ответы: 171, 8 пм; 1, 4 пм.
2. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость 
= 3, 65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определите расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на 
= 10 см от щели.
 Дано:
 м;
 м/с;
 1 = 1;
k 2 = -1;
 кг
Найти:
 -?
| Решение
Изобразим схему дифракции электронов на щели (рисунок 3.4), укажем на ней положения дифракционных максимумов 1 и k 2, ширину щели  , угол дифракции  , искомое расстояние  , расстояние  от плоскости диафрагмы до экрана.
|
Воспользуемся оптико-механической аналогией и учтем, что при дифракции на щели положение дифракционных максимумов приблизительно можно определить по формуле
, (3.22)
где k = 0, 1, 2, 3, …(в рассматриваемой ситуации следует выбрать k = 1), 
- длина волны, которую следует сопоставить электрону, то есть длина волны де Бройля, определяемая по формуле (3.7).
Так как заданная в условии задачи скорость электрона значительно меньше скорости света в вакууме, то электрон можно считать нерелятивистской частицей, а его импульс определять по формуле:
, (3.23)
где 
- масса покоя электрона, - скорость его движения.
Так как рассматривается дифракция в первый порядок, то угол дифракции мал, и можно считать, что
. (3.24)
Тангенс угла дифракции найдем, воспользовавшись схемой опыта:
, (3.25)
где 
- расстояние от центра дифракционной картины до рассматриваемого максимума.
Комбинируя формулы (3.7), (3.22) – (3.25) с учетом значения k = 1, получим выражение для расчета расстояния между указанными в задаче дифракционными максимумами:
. (3.26)
Вычислим искомое расстояние по формуле (3.26):
.
Ответ: х = 60 мкм.
3 На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения 
изменяется. Когда этот угол становится равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние 
между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определите длину волны де Бройля электронов и их скорость .
 Дано:
 = 640;
k = 1;
d = 200 пм
Найти:
-? -?
| Решение
Воспользуемся для решения задачи формулой Вульфа-Брэгга, которая применима здесь, как и при дифракции рентгеновского излучения на кристалле:
 , (3.27)
где – постоянная кристаллической решетки, – угол скольжения,  – порядок дифракции,  – длина волны де Бройля.
|
Выражая из формулы (3.27) длину волны де Бройля, получим:
. (3.28)
Воспользуемся выражением длины волны де Бройля через импульс частицы и постоянную Планка:
. (3.29)
Из формулы (3.29) найдем скорость электрона:
. (3.30)
Вычислим искомые величины по формулам (3.29) и (3.30):
пм;
м/с = 2 Мм/с.
Ответы: 360 пм; 2 Мм/с.
4. Электрон в плоскопараллельном слое толщины из вещества, показатель преломления которого 
, движется со скоростью 
перпендикулярно ограничивающим слой плоскостям. Скорость электрона 
, при этом регистрируется излучение Вавилова – Черенкова. Определить угол 
раствора конического сектора, в котором сконцентрировано излучение вследствие конечности толщины слоя.
 Дано:
;
 ;
 ;
Найти:
 -?
| Решение
 Изобразим схематически описанную в задаче ситуацию (рисунок 3.5).
|
Угол 
между направлением полета частиц и направлением излучения определяется из равенства
, (3.31)
где 
- скорость света в вакууме, - показатель преломления среды, - модуль скорости частицы.
Неопределенность импульса электрона, находящегося в слое вещества толщиной d, составляет величину порядка
, (3.32)
а неопределенность его скорости равна
, (3.33)
где 
– масса электрона.
Продифференцируем левую часть выражения (3.31) по , а правую часть – по :
. (3.34)
Считая неопределенности угла и скорости 
малыми величинами, представим (3.34) в виде:
. (3.35)
Из выражения (3.35) выразим модуль и учтем в полученном выражении формулу (3.33):
. (3.36)
Числовое значение найденного угла может быть определено после задания значений показателя преломления среды, толщины слоя и скорости электрона. При этом следует определить 
с применением основного тригонометрического тождества и формулы (3.31).
5. Комптоновское рассеяние квантов на электронах атомов осложняется тем, что электроны в атомах не находятся в покое. Оцените связанный с этим разброс в углах разлета электронов отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии строго назад рентгеновских квантов с длиной волны = 0, 1 нм.
 Дано:
= 0, 1 нм;
 кг;
Кл
Найти:
 –?
| Решение
Для оценки будем считать, что начальный импульс электрона  был направлен перпендикулярно направлению движения фотона. Величину  найдем из соотношения неопределенностей, записанного в виде:
 . (3.37)
|
При этом неопределенность в положении электрона можно отождествить с радиусом первой боровской орбиты (
м).
Продольную составляющую импульса электрона после его взаимодействия с фотоном найдем, воспользовавшись законом сохранения импульса:
, (3.38)
а изменение частоты 
– применяя формулу Комптона
, (3.39)
где 
– комптоновское смещение длины волны, 
пм – комптоновская длина волны для электрона, 
– угол рассеяния. Так как рассматривается рассеяние строго назад, то
. (3.40)
Определяя импульс (скорость) электрона в ходе решения системы уравнений (3.38) и (3.40), легко убедиться, что
, (3.41)
и что электрон в данной задаче нерелятивистский.
Оценим теперь разброс в угле рассеяния электрона (рисунок 3.6).
 |
На рисунке 3.6 видно, что
. (3.42)
Учтем в (3.42) формулы (3.37) и (3.41):
. (3.43)
Тогда искомый разброс угла рассеяния определим как
. (3.44)
Производя вычисления, получим:
.
Ответ: = 7, 3°.
6. Оцените минимальный размер железной пылинки, при котором можно наблюдать эффект Мёссбауэра с энергией перехода Е = 14 кэВ и временем жизни 
= 10-3 с, если отдачей пылинки будет обусловлено доплеровское смещение, равное естественной ширине линии.
Примечание. Эффект Мёссбауэра заключается в том, что при достаточно низкой температуре отдачу испытывает не отдельное излучившее ядро, а весь кристалл (в рассматриваемой задаче – пылинка).
 Дано:
Е = 14 кэВ;
 = 10-3 с;
Найти:
 -?
| Решение
При излучении гамма-кванта пылинка приобретает импульс отдачи
 , (3.45)
где Е – энергия гамма-кванта.
|
Доплеровское смещение частоты гамма-кванта вследствие движения излучателя (пылинки) определяется из соотношения
. (3.46)
Естественную ширину линии найдем из соотношения неопределенностей:
. (3.47)
Комбинируя формулы (3.46) и (3.47), найдем минимальную массу пылинки, при которой еще наблюдается эффект Мёссбауэра:
. (3.48)
Оценим радиус пылинки, считая, что она имеет сферическую форму. Так как объем шара
(3.49)
и, иначе,
, (3.50)
то, комбинируя формулы (3.48), (3.49) и (3.50), получим:
. (3.51)
Вычислим по формуле (3.51) оценочное значение радиуса пылинки, приняв ее плотность равной 8000 кг/м3:
м.
Ответ: 
см.