Поліноміальні матриці ( -матриці ).

Поліноміальною матрицею ( -матрицею) будемо називати квадратну матрицю, всі елементи якої є многочленами від деякої фіксованої змінної з коефіцієнтами з поля P. Прикладом поліноміальної матриці є характеристична матриця довільної квадратної матриці A з елементами з поля P.

Нехай задається – матриця

.

Елементарними перетвореннями цієї матриці називається перетворення таких типів:

1) перестановка рядків;

2) перестановка стовпчиків;

3) домноження будь-якого рядка на будь-яке число , таке, що ;

4) домноження будь-якого стовпчика на будь-яке число , таке, що ;

5) додавання до i -го рядка матриці j -го рядка, домноженого на будь який многочлен з елементами з поля P при умові ;

6) додавання до i -го стовпчика матриці j -го стовпчика, домноженого на будь-який многочлен з елементами з поля P при умові .

Дві –матриці та вважаються еквівалентними, якщо від матриці можна перейти до матриці за допомогою скінченного числа елементарних перетворень. Цей факт позначається так . Всі квадратні –матриці порядка n над полем P розпадаються на класи еквівалентних матриць, що не перетинаються.

Канонічною –матрицею називається –матриця, для якої виконуються наступні умови:

1) матриця діагональна, тобто має вигляд

;

2) якщо – ненульовий многочлен (), то ділиться на , якщо – нульовий многочлен при , то нульовими є всі многочлени ;

3) старший коефіцієнт будь-якого ненульового многочлена дорівнює одиниці.

Будь-яка -матриця еквівалентна деякій канонічній –матриці, тобто зводиться елементарними перетвореннями до канонічного вигляду. Будь яка –матриця еквівалентна лише єдиній канонічній –матриці.