Вигляду методом елементарних перетворень.

Припускаємо, що задається –матриця

.

Ставиться задача звести матрицю до канонічного вигляду елементарними перетвореннями. Якщо матриця нульова, то вона канонічна. Отже, вважаємо, що – ненульова матриця.

1 крок. Серед ненульових елементів матриці береться многочлен мінімального степеня і перестановками рядків та стовпчиків цей многочлен переставляється в лівий верхній кут матриці. Якщо такий многочлен неєдиний, то переставляється будь-який з них. Отже, вважаємо, що - саме такий ненульовий многочлен.

2 крок. Перевіряється умова: кожен елемент в першому рядку та в першому стовпчику матриці ділиться на . Якщо це виконується, то перехід на крок 3, якщо не виконується, то на крок 5.

3 крок. Всі елементи першого рядка та першого стовпчика діляться на . Від кожного рядка матриці віднімається перший рядок, домножений на відповідний многочлен таким чином, що в першому стовпчику матриці на всіх місцях, крім першого, одержуються нулі. Далі аналогічно від кожного стовпчика матриці віднімається перший, домножений на відповідний многочлен таким чином, що в першому рядку матриці на всіх місцях, крім першого, одержуються нулі. Отже, одержується - матриця

Причому

4 крок. Припустимо, що

Якщо порядок матриці дорівнює 1, або матриця нульова, то перехід на 6 крок. Інакше виконуються перетворення матриці . Для цього перехід на крок 1 для матриці

5 крок. Припускаємо, що, наприклад, у першому стовпчику матриці є многочлен (), який не ділиться на . Елемент ділиться на з залишком:

,

де ненульовий многочлен, степінь якого менший за степінь . Далі від -го рядка матриці віднімається 1-й рядок, домножений на На перетині -го рядка та 1-го стовпчика з’являється ненульовий многочлен степеня, меншого за степінь . Далі з одержаною матрицею перехід на крок 1.

6 крок. Одержана діагональна матриця

Припускаємо, що …, …, Якщо для всіх таких, що виконується умова: ділиться на , то перехід на 8 крок, інакше перехід на крок 7.

7 крок. Умова: ділиться на для всіх таких, що не виконується. Через позначимо мінімальний номер, для якого така умова не виконується. Многочлен крім може не ділитись ще на кілька попередніх многочленів. Тому нехай - мінімальний номер, для якого не ділиться на . До стовпчика з номером додається стовпчик з номером . Одержується матриця, в -м стовпчику якої знаходиться многочлен, який не ділиться на діагональний елемент . Далі для даної матриці перехід на 1 крок.

8 крок. Одержана діагональна матриця

…, …,

Причому для всіх таких, що многочлен ділиться на . Кожен з рядків матриці від 1-го до -го ділиться на старший коефіцієнт діагонального елемента і одержується шукана канонічна матриця:

…, …,

Означення. Многочлени називаються інваріантними многочленами матриці .

Задача 1. Звести матрицю до канонічного вигляду методом елементарних перетворень

Розв’язування. Ненульовими елементами мінімального степеня в матриці є многочлени степеня 2. Такий многочлен знаходиться в лівому верхньому куті, тому початкових перестановок рядків чи стовпчиків не потрібно. Елементи в першому стовпчику, що стоять на другому та третьому місцях, не діляться на кутовий многочлен . Беремо один з них, наприклад, . Далі від третього рядка віднімаємо перший:

В одержаній матриці ненульовими елементами мінімального степеня є многочлени степеня 1. Беремо один із них, наприклад , і переставляємо в лівий верхній кут, міняючи місцями 1-й та 3-й рядки:

В одержаній матриці всі елементи 1-го рядка та 1-го стовпчика діляться на елемент , що стоїть в лівому верхньому куті, а тому одержуємо нулі в першому стовпчику та в першому рядку. Для цього спочатку від другого рядка віднімаємо перший, домножений на , а від третього віднімаємо перший, домножений на Далі від другого стовпчика віднімаємо подвійний, а від третього – потрійний перший:

В матриці

ненульовими елементами мінімального степеня є многочлени степеня 2, і такий многочлен знаходиться в лівому верхньому куті. Елементи 1-го рядка та 1-го стовпчика діляться на цей елемент, отже, можна одержувати нулі.

Додаванням до останнього рядка матриці передостаннього з наступним відніманням від останнього стовпчика передостаннього, домноженого на , одержуємо

Одержується діагональна - матриця

Кожен з діагональних елементів матриці ділиться на попередній. Старші коефіцієнти многочленів дорівнюють одиниці. Отже, ми одержали канонічний вигляд -матриці .

Задача 2. Звести -матрицю до канонічного вигляду методом елементарних перетворень

Розв’язування. Початкова матриця має діагональний вигляд, але ненульовим многочленом мінімального степеня є . За методом, переставляються перший та другий рядки, далі - перший та другий стовпчики:

Одержується діагональна матриця, в якій елементи та не діляться на перший елемент . До першого стовпчика додається другий:

У першому стовпчику матриці знаходиться елемент , який не ділиться на кутовий елемент . Враховуючи, що , від другого рядка віднімається перший, домножений на :

Ненульовим елементом мінімального степеня є 9. Тому цей елемент переставляється у лівий верхній кут перестановкою першого та другого рядків:

Далі перший рядок ділиться на 9, а потім другий стовпчик домножається на 9:

Всі елементи першого рядка та першого стовпчика діляться на кутовий елемент 1, отже, від другого рядка віднімається перший, домножений на , далі від другого стовпчика віднімається перший, домножений на .

Одержується діагональна матриця, в якій елемент не ділиться на . До другого стовпчика додається третій:

В матриці

ненульовий елемент мінімального степеня знаходиться у лівому верхньому куті, але елемент першого стовпчика не ділиться на . Враховуючи¸ що , до останнього рядка додається попередній:

В матриці

ненульовим елементом мінімального степеня є , отже, переставляються останній та попередній рядки:

Другий рядок ділиться на 4, далі третій стовпчик домножається на 4:

Всі елементи другого рядка та другого стовпчика діляться на діагональний елемент .Отже, до третього рядка додається другий, домноженй на , далі від третього стовпчика віднімається другий, домножений на λ +1:

Одержується діагональна матриця

Кожен з діагольнальних елементів ділиться на попередній. Старші коефіцієнти многочленів дорівнюють одиниці. Отже, ми одержали канонічний вигляд λ -матриці A (λ).