Алгоритм знаходження жорданова базису (випадок єдиного власного числа).

Нехай A - лінійний оператор на векторному просторі V над полем F, dim V = n, у даному базисі простору оператору A відповідає матриця Ставиться задача знайти жорданів базис оператора A та жорданову матрицю J оператора в цьому базисі. Для визначеності вважаємо, що всі вектори задаються координатами в початковому базисі .

1 крок. Складається характеристичний многочлен оператора і знаходяться всі корені цього многочлена. Припускаємо, що многочлен має лише єдиний корінь , причому , тобто . Це означає, що параметром усіх жорданових клітинок заключної жорданової матриці J є число .

2 крок. Розгляд переноситься на лінійний операторB =A - l ₀E, де E – одиничний оператор. ОператорB нільпотентний, у початковому базисі оператору B відповідає матриця B = A - E. Жорданів базис оператора B є жордановим базисом для A та навпаки. Отже, далі знаходиться жорданів базис оператора B =A - l ₀E.

3 крок. Знаходиться показник нільпотентності k оператора B. Для цього береться послідовність матриць така, що k – мінімальний ступінь, для якого -нульова матриця. Показник нільпотентності k означає, що у заключній жордановій матриці J максимальний порядок жорданової клітинки дорівнює k.

4 крок. Розглядається послідовність підпросторів M ₀, M ₁, …, , таких, що M_i = Ker B ⁱ Оскільки вважається, щоB ⁰ =E, то M ₀ = . З того, що k – показник нільпотентності оператора B випливає, що B ^k =O, B ^{k - 1} O, …, B ¹ O, B ⁰ O, а тому і при цьому виконуються включення = M ₀Ì M ₁Ì Ì Будемо називати висотою вектора мінімальне натуральне число h таке, що B ^h Оскільки B ^k =O , то . Складаються початкові базиси підпросторів за наступними правилами. Оскільки M ₀ = , в підпросторі M ₀ базису немає. Будується довільний базис Б ₁ підпростору M ₁= Ker B. Для цього береться деяка фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь порядку n з основною матрицею системи B. Зрозуміло, що висота кожного вектора в базисі Б ₁ дорівнює 1. Далі система векторів Б ₁ доповнюється до базису Б ₂ підпростору M ₂. Для цього, наприклад, можна знайти довільний базис M ₂, як фундаментальну систему розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею та з цього базису взяти відповідну кількість векторів з урахуванням умови лінійної незалежності. Зрозуміло, що усі доповнюючі вектори висоти 2. Далі система Б ₂ аналогічним чином доповнюється до початкового базису Б ₃ підпростору M _3. Продовжуючи цей процес, одержується послідовність початкових базисів Б ₁, Б ₂, …, , підпросторів M ₁, …, , відповідно і при цьому Б ₁ Б ₂ … . Базис підпростору є базисом простору V. Він складається з системи та доповнюючих векторів. Висота кожного вектора, що доповнює базис до , дорівнює k. Висота кожного вектора з базису не більше k -1.

5 крок. Будується жорданів базис. Для цього складається послідовність ланцюжків (серій) векторів за наступними правилами. На першому кроці для кожного вектора c висоти k з базису складається серія з k векторів c, B (c), B ² (c), …, B ^{k - 1}(c)з початковим вектором c. Оскільки висота вектора c дорівнює k, то серія складається з ненульових векторів. При цьому зрозуміло, що під дією оператора B кожен вектор переводиться у вектор з висотою, меншою на одиницю. Отже, векторам серії c, B (c), B ² (c), …, B ^{k - 1}(c)відповідають висоти k, k- 1, k -2, …, 1. При цьому , B (c) , B ² (c) , …, B ^{k - 1}(c) Система векторів, яка складається з усіх побудованих серій, лінійно незалежна. Далі, якщо потрібно, на другому кроці нові серії будуються за наступними правилами. Береться початковий базис підпростору , з кожної побудованої серії береться вектор висоти k- 1. Одержується лінійно незалежна система у підпросторі і далі ця система доповнюється до базису . Доповнюючі вектори можна взяти, наприклад, з початкового базису підпростору . Висота кожного доповнюючого вектора d дорівнює k -1, і далі для кожного такого вектора складається ланцюжок(серія) з k -1 векторів d, B (d), B ² (d), …, B ^{k - 2}(d). Вектори усіх серій, побудованих на першому та другому кроках, лінійно незалежні. Припускаємо, що зроблено j (1£ j < k) кроків будування серій. На j +1 кроці береться початковий базис підпростору , з кожної серії береться вектор висоти k - j, одержується лінійно незалежна система в підпросторі , ця система доповнюється до базису векторами, наприклад, з початкового базису підпростору і для кожного з додатково взятих векторів z складається серія з k - j векторів z, B (z), B ² (z), …, B ^{k –j– 1}(z). Вектори всіх побудованих серій на всіх кроках лінійно незалежні. Процес будування серій завершується, коли вектори всіх побудованих серій разом утворюють базис простору. Це виконується, коли число векторів у всіх побудованих на даний крок серіях співпадає з розмірністю простору.

6 крок. Жорданів базис складається з усіх побудованих серій. Вектори впорядковуються наступним чином. У кожній серії вектори розташовуються у зворотньому порядку (у кожній серії початковий вектор береться останнім). Кожна серія у базисі розташовується єдиним блоком.

7 крок. Жорданова нормальна форма матриці А визначається наступним чином. Оскільки характеристичний многочлен має єдиний корінь , то кожна жорданова клітинка у матриці є клітинкою з параметром . Кожній серії векторів у базисі відповідає одна клітинка. Порядок клітинки строго дорівнює довжині серії. Порядок розташування клітинок строго відповідає порядку розміщення серій в базисі.

Задача 1. Лінійний оператор A у початковому базисі простору V задається матрицею А. Знайти базис , в якому оператор задається жордановою матрицею J, та знайти матрицю J

Розв’язування. На першому кроці шукаються власні числа матриці А. Для цього складається характеристичний многочлен оператора

=

=

Отже, характеристичний многочлен має лише єдиний корінь t =3. Беремо , далі складемо матрицю , яка відповідає оператору

Визначаємо показник нільпотентності k матриці B:

Таким чином, k =2. Це означає, що максимальний порядок жорданової клітинки в жордановій нормальній формі дорівнює 2, причому параметром всіх клітинок є власне число . Далі знаходимо початкові базиси підпросторів

Базис Знаходимо фундаментальну систему розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею системи В.

Отже, початковим базисом підпростору є пара векторів .

Базис Оскільки k =2, то підпростір співпадає з усім простором V. За алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до базису простору V. Оскільки dim = 2, а dim = 3, то доповнення складається лише з одного вектора. Достатньо взяти такий вектор, що є лінійно незалежним з Таким вектором може бути, наприклад, . Отже, початковим базисом підпростору є трійка векторів .

У цьому базисі вектори висоти 1, вектор висоти 2. Починаємо будувати жорданів базис. У початковому базисі підпростору вектори утворюють базис , вектор є доповнюючим до базису Для доповнюючого вектора будуємо першу серію. Оскільки висота вектора дорівнює 2, то серія складається з двох векторів. Першим вектором береться . Другим вектором береться вектор B

B

Отже, першу серію утворюють вектори , B =

В цій серії вектор висоти 2, вектор B висоти 1, B Число векторів в серії менше розмірності простору, отже, серія не утворює базис простору, тому процес будування серій продовжується. За методом будуємо новий базис підпростору Оскільки підпростір базису не має, новий базис складається лише з векторів висоти 1 в кожній побудованій серії та доповнюючих векторів. Отже, з єдиної побудованої серії до нового базису береться вектор B = Оскільки dim = 2, цей вектор доповнюється до базису підпростору ще одним вектором, який можна вибрати, наприклад, з початкового базису , виходячи з умови лінійної незалежності з вектором B . Наприклад, доповнюючим вектором беремо Отже, новий базис утворюють вектори B = У цьому базисі доповнюючим вектором є За цим вектором будуємо другу серію.

Вектор висоти 1, а тому друга серія складається лише з одного вектора

Число векторів у двох побудованих серіях дорівнює 3=dim V. Тому серії разом утворюють базис простору. За методом, у кожній серії вектори представляємо у зворотньому порядку і одержуємо жорданів базис

Для побудови жорданової матриці у цьому базисі враховуємо, що єдиним власним числом є а тому всі жорданові клітинки з параметром Кожній серії відповідає одна клітинка, порядок якої дорівнює довжині серії. Отже, вектори утворюють серію довжини 2, якій відповідає жорданова клітинка порядку 2. Вектор
утворює серію довжини 1, якій відповідає жорданова клітинка порядку 1. Порядок розташування клітинок на діагоналі матриці відповідає порядку розміщення серій в жорданові базисі. Отже, одержуємо жорданову матрицю

Задача 2. Лінійний оператор A у деякому базисі задається матрицею . Знайти базис , в якому оператор задається жордановою матрицею та знайти матрицю

Розв’язування. Шукаємо власні числа оператора. Для цього розглядаємо характеристичний многочлен.

Характеристичний многочлен має лише єдиний корінь . Отже, беремо далі складаємо матрицю , яка відповідає оператору

Визначаємо показник нільпотентності k матриці

Отже, . Таким чином, в заключній жордановій матриці всі жорданові клітинки з параметром а максимальний порядок жорданової клітинки дорівнює 3. Знаходимо початкові базиси підпросторів

Базис . Знаходимо фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь з основною матрицею системи .

Отже, початковий базис підпростору утворюють вектори .

Базис . За алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до базису . Для цього складається деякий базис підпростору та з цього базису беруться доповнюючі вектори. Базисом можна взяти фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь з основною матрицею системи .

-3

За алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до початкового базису . Зрозуміло, що тобто береться лише один доповнюючий вектор. Цей вектор можна взяти з побудованого базису підпростору , виходячи з умови лінійної незалежності з векторами . Таким вектором можна взяти Отже, початковий базис підпростору утворюють вектори , ,

Базис . Оскільки , підпростір співпадає з усім простором . Тому, за алгоритмом, початковий базис підпростору доповнюється до базису простору . Оскільки береться лише один доповнюючий вектор, лінійно незалежний з векторами . Таким вектором можна взяти . Отже, базис утворюють вектори , , . В цій системі вектори висоти 1, вектор висоти 2, вектор висоти 3.

Доповнюючим вектором до останнього базису є вектор висоти 3. Отже, за цим вектором будуємо першу серію, яка складається з 3-х векторів. Першим вектором береться вектор . Другим вектором береться вектор B (а ₄):

B (а ₄)=

Третім вектором береться вектор B ²(а ₄):

B ²(а ₄)=

Отже, першу серію утворюють вектори

, B (а ₄) , B ²(а ₄)

В цій серії вектор висоти 3, вектор B (а ₄) висоти 2, а тому B (а ₄) , вектор B ²(а ₄) висоти 1, а тому B ²(а ₄) . Число векторів в серії менше розмірності простору, отже серія не утворює базису простору, тому процес будування серій продовжується.

Будується новий базис підпростору . За методом, до цього базису включається початковий базис підпростору , тобто вектори , . Далі, до нового базису включаються вектори висоти 2 з усіх побудованих серій. У даному випадку існує лише одна серія, в якій вектором висоти 2 є B (а ₄) . Але . Ми одержали в новому базисі підпростору 3 вектори , , B (а ₄) . Доповнюючих векторів немає, а тому немає нових серій. Число векторів в побудованих серіях дорівнює 3, що менше розмірності простору, отже будуємо новий базис підпростору . Оскільки підпростір базису не має, до нового базису включаємо вектори висоти 1 з усіх побудованих серій. Існує лише одна серія, в якій вектором висоти 1 є вектор B ²(а ₄)= Оскільки цей вектор доповнюється до базису підпростору ще одним вектором. Доповнюючий вектор можна взяти з початкового базису підпростору , виходячи з умови лінійної незалежності з вектором B ²(а ₄) . Беремо, наприклад, вектор . Новий базис утворюють вектори: B ²(а ₄) , У цьому базисі доповнюючим вектором є . За цим вектором будуємо другу серію. Вектор висоти 1, а тому серія складається лише з одного вектора.

Другу серію утворює вектор

Число векторів у двох побудованих серіях дорівнює . Тому серії утворюють базис простору. У кожній серії переставляємо вектори у зворотньому порядку і одержуємо жорданів базис

, , .

Для побудови жорданової матриці у цьому базисі враховуємо, що єдиним власним числом є . Тому всі жорданові клітинки з параметром . Кожній серії відповідає одна клітинка, порядок якої співпадає з довжиною серії. Вектори , , утворюють серію довжини 3, якій відповідає клітинка порядку 3. Вектор утворює серію довжини 1, якій відповідає клітинка порядку 1. Розташування клітинок на діагоналі жорданової матриці відповідає порядку розміщення серій в жорданові базисі. Отже, одержуємо жорданову матрицю