![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Алгоритм побудови жорданової нормальної форми квадратної матриці.
Припустимо, що задається квадратна матриця A порядку n
Ставиться задача побудувати жорданову нормальну форму матриці A. 1 крок. Від усіх елементів на головній діагоналі матриці A віднімається змінна λ і одержується характеристична матриця A-λ E матриці A:
2 крок. Матриця A - λ E зводиться до канонічного вигляду B (λ) як λ -матриця.
3 крок. Припустимо, що канонічна матриця B (λ) має такий вигляд
Тоді в даному випадку всі інваріантні многочлени e 1(l), e 2(l), …, en (l) ненульові. Припустимо, що
4 крок. Припустимо, що Таким чином, даному інваріантному многочлену ej (l) в заключній жордановій матриці відповідають s жорданових клітинок порядків n 1, n 2, …, ns з параметрами l 1, l 2, …, ls відповідно. 5 крок. Одержавши всі жорданові клітинки для кожного з многочленів ненульового степеня
Задача 1. Скласти жорданову нормальну форму квадратної матриці A, якщо задаються інваріантні многочлени
Розв’язування. Виходячи з числа інваріантних многочленів, робимо висновок, що порядок матриці А дорівнює 9. Зрозуміло, що сума порядків всіх жорданових клітинок дорівнює 9. З методу побудови жорданової матриці випливає, що матрицю можна побудувати лише за умови, що сума степенів всіх інваріантних многочленів також дорівнює порядку матриці, тобто 9. Перевіряючи цю умову, одержуємо 6*0+1+3+5=9.
Умова виконується, тобто жорданову матрицю можна скласти. Складемо всі жорданові клітинки. Многочленам Многочлену Далі будуємо заключну жорданову матрицю J. Для цього вздовж діагоналі квадратної матриці порядку 9 розміщуються одержані жорданові клітинки, а всі інші елементи беруться рівними 0. Клітинки розміщуються за зростанням порядку:
Задача 2. Знайти жорданову нормальну форму матриці
Розв’язування. За алгоритмом беремо характеристичну матрицю
Далі цю матрицю зводимо до канонічного вигляду як λ -матрицю будь-яким методом. Скористаємось методом елементарних перетворень.
Одержуються інваріантні многочлени матриці A:
Жорданові клітинки будуються лише для многочленів
матриці порядку 4 за зростанням порядку клітинок, одержуємо відповідь
|