Алгоритм побудови жорданової нормальної форми квадратної матриці.

Припустимо, що задається квадратна матриця A порядку n

.

Ставиться задача побудувати жорданову нормальну форму матриці A.

1 крок. Від усіх елементів на головній діагоналі матриці A віднімається змінна λ і одержується характеристична матриця A-λ E матриці A:

2 крок. Матриця A - λ E зводиться до канонічного вигляду B (λ) як λ -матриця.

3 крок. Припустимо, що канонічна матриця B (λ) має такий вигляд

Тоді в даному випадку всі інваріантні многочлени e ₁(l), e ₂(l), …, e_n (l) ненульові. Припустимо, що

Тобто ст > 0, ст > 0, , ст > 0. Для кожного з многочленів ненульового степеня e_{k+ 1}(l), e_{k+ 2}(l), …, e_n (l)одержується канонічний розклад в добуток лінійних множників.

4 крок. Припустимо, що – канонічний розклад многочлена e_j (l) в добуток лінійних множників при k < j £ n. Тоді l ₁, l ₂, …, l_s - всі попарно різні корені многочлена e_j (l). Кожен з многочленів , , називається інваріантним множником матриці A. Кожному інваріантному множнику (1 £ i £ s) в заключній жордановій матриці відповідає жорданова клітинка порядку n_i з параметром l_i

Таким чином, даному інваріантному многочлену e_j (l) в заключній жордановій матриці відповідають s жорданових клітинок порядків n ₁, n ₂, …, n_s з параметрами l ₁, l ₂, …, l_s відповідно.

5 крок. Одержавши всі жорданові клітинки для кожного з многочленів ненульового степеня , будується заключна матриця J таким чином. Вздовж головної діагоналі послідовно розміщуються всі одержані жорданові клітинки, а всі інші елементи беруться рівними 0. Як правило, клітинки розміщуються за зростанням порядку, але порядок розміщення клітинок може бути будь-яким. Одержується заключна жорданова матриця J, яка є жордановою нормальною формою матриці A.

Задача 1. Скласти жорданову нормальну форму квадратної матриці A, якщо задаються інваріантні многочлени її характеристичної матриці A - λ E:

Розв’язування. Виходячи з числа інваріантних многочленів, робимо висновок, що порядок матриці А дорівнює 9. Зрозуміло, що сума порядків всіх жорданових клітинок дорівнює 9. З методу побудови жорданової матриці випливає, що матрицю можна побудувати лише за умови, що сума степенів всіх інваріантних многочленів також дорівнює порядку матриці, тобто 9. Перевіряючи цю умову, одержуємо

6*0+1+3+5=9.

Умова виконується, тобто жорданову матрицю можна скласти. Складемо всі жорданові клітинки. Многочленам жорданові клітинки не відповідають. Тому клітинки будуються лише за многочленами Многочлени задаються канонічними розкладами в добутки лінійних множників. Многочлену відповідає одна жорданова клітинка порядку 1 Многочлену відповідають дві клітинки

Многочлену відповідають дві жорданові клітинки

Далі будуємо заключну жорданову матрицю J. Для цього вздовж діагоналі квадратної матриці порядку 9 розміщуються одержані жорданові клітинки, а всі інші елементи беруться рівними 0. Клітинки розміщуються за зростанням порядку:

Задача 2. Знайти жорданову нормальну форму матриці

Розв’язування. За алгоритмом беремо характеристичну матрицю матриці А:

Далі цю матрицю зводимо до канонічного вигляду як λ -матрицю будь-яким методом. Скористаємось методом елементарних перетворень.

Одержуються інваріантні многочлени матриці A:

Жорданові клітинки будуються лише для многочленів Многочлену

відповідає жорданова клітинка порядку 1 . Многочлену також відповідає жорданова клітинка порядку 1 . Многочлену відповідає жорданова клітинка порядку 2 Розміщуючи клітинки вздовж діагоналі

матриці порядку 4 за зростанням порядку клітинок, одержуємо відповідь