Метод дільників мінорів.

Припустимо, що задається λ -матриця порядку n

.

Послідовність многочленів визначається таким чином. Якщо серед мінорів порядку i (1 £ i £ n)існує такий, що не дорівнює 0, то – найбільший спільний дільник всіх мінорів порядку i, старший коефіцієнт якого дорівнює 1. Якщо всі мінори порядку i дорівнюють 0, то . Тоді, якщо k (k> 0)– ранг матриці A (λ), то . Припустимо, що

-

канонічний вигляд матриці A (λ). Тоді . Інваріантні многочлени знаходяться за наступними правилами: при 1< i £ k.

Задача 1. Звести λ -матрицю A (λ) до канонічного вигляду методом дільників мінорів

Розв’язування. Мінорами порядку 1 є елементи матриці. Оскільки

то . Єдиним мінором порядку 2 є визначник всієї матриці. Тому

Тоді

Отже, одержується канонічний вигляд матриці A (λ):

Задача 2. Звести λ -матрицю A (λ) до канонічного вигляду методом дільників мінорів

Розв’язування. Мінорами порядку 1 є елементи матриці, а тому Зрозуміло, що для знаходження достатньо взяти найбільший спільний дільник лише таких мінорів порядку 2, що не дорівнюють 0. Таких мінорів існує лише три:

Отже, Єдиним мінором порядку 3 є визначник матриці A (λ). Отже,

Знаходимо інваріантні многочлени

,

,

Одержуємо канонічний вигляд матриці A (λ):