випадок існування різних власних чисел).

Нехай A - лінійний оператор на векторному просторі V над полем F, dim V = n, у початковому базисі простору оператору A відповідає матриця Ставиться задача знайти жорданів базис оператора A та жорданову матрицю J оператора в цьому базисі. Для визначеності вважаємо, що всі вектори задаються координатами в початковому базисі.

1 крок. Складається характеристичний многочлен оператора і знаходяться всі корені цього многочлена. Нехай l ₁, l ₂, …, l_s Î F - це всі попарно різні корені, причому s > 1. Також нехай m ₁, m ₂,..., m_s - відповідні кратності коренів. Тоді m ₁+ m ₂+…+ m_s = n та . Це означає, що в заключній жордановій матриці J існують клітинки лише з параметрами l ₁, l ₂, …, l_s, кожному власному числу відповідає принаймні одна клітинка, причому сума порядків усіх клітинок, що відповідають даному власному числу l_j (1 £ j £ s)дорівнює показнику кратності m_j, а тому в жорданові базисі власному числу l_j відповідає в точності m_j векторів.

2 крок. Позначимо многочлени , Оскільки всі корені l ₁, l ₂, …, l_s є попарно різними, то многочлени є попарно взаємно простими і за теоремою про розщеплення лінійного оператора простір V розпадається в пряму суму підпросторів де L ₁ =Ker f ₁(A) _, L ₂ = Ker f ₂(A) _{, …,} L_s =Ker f_s (A).Кожен з підпросторів L ₁ , L ₂, …, L_s є інваріантним відносно оператора A, причому для кожного номера j (1 £ j £ s)звуження оператора A на підпростір L_j має лише єдине власне число l_j. Тому будується жорданів базис Б_j підпростору L_j і далі жорданів базис простору Б = { } береться як об’єднання жорданових базисів підпросторів.

3 крок. Будується жорданів базис Б_j підпростору L_j (1 £ j £ s). Аналогічно тому, як це виконувалося при існуванні єдиного власного числа, береться послідовність підпросторів = M ₀Ì M ₁Ì …Ì Ì та будуються початкові базиси цих підпросторів. Процес завершується, коли dim < m_j, dim = m_j. В початковому базисі підпростору є принаймні один вектор висоти k_j. Далі будуються серії, в кожній серії вектори розташовуються в зворотньому порядку і одержується жорданів базис Б_j підпростору L_j.

4 крок. Оскільки то за теоремою про базис прямої суми система Б = Б ₁È Б ₂È … È Б_s утворює базис простору. Кожен підпростір є інваріантним відносно оператора A, а тому у базисі Б оператору A відповідає матриця J клітинного вигляду

.

Кожна клітинка J_k є матрицею звуження оператора A на інваріантний підпростір L_k в жордановом базисі Б_k. Отже, кожна клітинка J_k є жордановою матрицею, а тому вся матриця J є жордановою. Таким чином, базис Б= Б ₁È Б ₂È … È Б_s є жордановим базисом простору оператора A, а J є відповідною жордановою матрицею.

Задача 1. Лінійний оператор у початковому базисі задається матрицею . Знайти базис , в якому оператор задається жордановою матрицею J та знайти матрицю J

Розв’язування. На першому кроці шукаються власні числа матриці A. Для цього складається характеристичний многочлен оператора

Отже, власне число t ₁ = 3 є коренем характеристичного многочлена кратності 3, а тому числу t ₁ =3 в жордановому базисі відповідають 3 вектори та для підпростору L ₁ = Ker(A - 3E)³ dim L ₁ = 3. Власне число t ₂ = -2 є коренем кратності 1, а тому числу t ₂ = -2 в жордановому базисі відповідає один вектор та для підпростору L ₂ = Ker(A +2E) dim L ₂ = 1.

Знаходиться жорданів базис підпростору L _1. Складається матриця B = A -3 E.

Знаходимо початковий базис M ₁. Цей базис утворює фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею системи B:

® ®

;

;

;

	-2
	-1

Отже, початковий базис підпростору утворюють вектори з координатами , . Тому , отже, . Це означає, що далі будується початковий базис доповненням до базису ще одного вектора.

Береться система лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею

Базис утворюють три вектори , , . Отже, . Початковий базис одержується як доповнення початкового базису . Доповнюючим вектором можна взяти будь-який вектор з одержаного базису , такий, що лінійно незалежний з векторами початкового базису , наприклад, . Отже, початковий базис утворюють вектори , , . В цій системі векторів перші два вектори висоти 1, третій – висоти 2. Для цього вектора будується перша серія з двох векторів. Першим є . Другий знаходиться як

Отже, першу серію складають вектори , . Але , тому вектори серії не утворюють базис . Отже, будується новий базис . З серії береться вектор висоти 1, в даному випадку це . Але , тому з початкового базису береться один доповнюючий вектор, наприклад, Для цього вектора будується друга серія довжини 1, яку утворює лише вектор . В двох серіях 3 вектори, , тому в серіях переставляємо вектори у зворотньому порядку і одержуємо жорданів базис підпростору : , , .

Далі знаходиться жорданів базис підпростору L ₂ = Ker (A + 2E). Оскільки , то в жордановому базисі простору власному числу відповідає лише один вектор, а тому у відповідній жордановій матриці одна клітинка порядку 1. Отже, в жордановій матриці цьому вектору відповідає стовпчик, де єдиний ненульовий елемент знаходиться на головній діагоналі і дорівнює -2. Тому цей вектор є власним вектором оператора, що відповідає власному числу . Отже, цим вектором можна взяти будь-який власний вектор. Шукаються власні вектори, які відповідають власному числу . Знаходиться фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею

		-1

Четвертим базисним вектором можна взяти . Отже, жорданів базис простору утворюють вектори , , , . Складемо матрицю оператора A в цьому базисі. Враховуємо, що вектори відповідають власному числу , вектор - власному числу . При цьому вектори утворюють серію. Кожен з векторів утворює окрему серію. Одержується така матриця