Средняя гармоническая

Средняя гармоническая может быть простой и взвешенной. Простая средняя гармоническая рассчитывается по формуле:

r w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 32" /> < w: sz-cs w: val=" 32" /> < w: lang w: val=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> X< /m: t> < /m: r> < /m: e> < /m: bar> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> = . (3.4)

где — индивидуальное значение признака (варианта);

n — объем совокупности (число единиц совокупности).

Средняя гармоническая взвешенная при меняется вместо средней арифметической взвешенной, когда нет данных о частотах отдельных вариант () совокупности, но есть данные о величине произведения – .

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле

r w: val=" 000000" /> < w: sz w: val=" 32" /> < w: sz-cs w: val=" 32" /> < w: lang w: val=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> X< /m: t> < /m: r> < /m: e> < /m: bar> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> "> = , (3.5)

где .

Cредняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической и тождественна ей (cм. (3.3)).

Использование одной из двух названных средних в каждом конкретном случае определяется характером имеющейся информации. Вме­сто средней гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, для чего следует определить веса средней арифметической , скрытые в весах средней гармонической .

Рассмотрим пример. Имеются данные о работе трех обменных пунктов валюты за день (табл. 3.4).

Таблица 3.4 – Валютный курс в обменных пунктах банка

Обменный пункт	Курс доллара, руб./долл.	Объем продаж, тыс. долл.	Выручка от продажи валюты, тыс. долл.
–
№1	28, 70	2, 3	66, 01
№2	28, 68	10, 4	298, 27
№3	28, 75	1, 5	43, 12
Итого	х	14, 2	407, 40

Первый вариант. По каждому обменному пункту известен валютный курс доллара (графа 1) и объем продаж долларов (графа 2).

Второй вариант. По каждому обменному пункту известен валютный курс доллара (графа 1) и выручка от продажи валюты (графа 3).

Требуется определить средний взвешенный курс доллара но трем обменным пунктам банка.

Запишем формулу, по которой определяется курс доллара:

Если воспользоваться данными первого варианта, то средняя арифметическая взвешенная курса доллара будет выглядеть следующим образом:

При использовании данных второго варианта (графы 1, 3) числитель будет суммой выручки от продажи долларов по каждому обменному пункту (66, 01+298, 27+43, 12) тыс.руб. Для нахождения общего объема продаж сначала необходимо рассчитать его по каждому обменному пункту по формуле

В итоге средний курс доллара будет определяться так:

В этом случае была использована средняя гармоническая взвешенная.

Результаты расчетов тождественны и выбор вида средней был обусловлен только имеющейся информацией.

Общее правило формулируется следующим образом. При расчете среднего уровня признака, представляющего собой относительную величи­ну, используются средние взвешенные: арифметическая и гармоничес­кая. Выбор вида средней в каждом конкретном случае определяется имеющейся информацией. Если имеется информация о знаменателе формулы, по которой определяется усредняемый признак, то используется средняя арифметическая. Если же имеется информация о числителе этой формулы, то используется средняя гармоническая.