Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара

Рассмотрим рынок одного товара, время считается непрерывным. Пусть D(t), S(t), p(t) — соответственно спрос, предложение и цена това­ра к моменту времени t. Спрос и предложение будем считать линейны­ми функциями цены, т.е. D(t) = а - bp, S(p) = + β p, где a, b, , β > 0. Естественно считать, что а > , т.е. при нулевой цене спрос превышает предложение. Основное предположение модели состоит в том, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предло­жением. Увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превыше­ния: , или, так как время непрерывно, можно записать: dp/dt = , где > 0 — коэффициент пропорциональности.

Подставим в это дифференциальное уравнение линейные зависи­мости спроса и предложения от цены, получим линейное неоднород­ное дифференциальное уравнение с начальным условием:

(1)

Это уравнение имеет стационарное решение при dp/dt= 0, которое имеет вид:

причем dp/dt > 0 при р* > р и dp/dt < 0 при р* < р.

При р₀ < p* цена р стремится к р* возрастая, а при р₀ > р* цена р стре­мится к р* убывая. Стационарная точка р* является точкой устойчивого равновесия. Сама цена р* есть равновесная цена, при которой равны спрос и предложение:

D = S, или а – bp= + β p, отсюда .

Найдем решение линейного дифференциального неоднородного уравнения (1).

Дифференциальное уравнение (1) решаем методом вариации произвольной постоянной. Общее решение однородного уравнения имеет вид

(2)

Найдем частное решение неоднородного дифференциального урав­нения (2.20), для этого найдем производную по t выражения (2), считая вместо постоянной С функцию С(t):

подставим в (1), получим

тогда

или

Окончательно с учетом начальных условий получаем

или

причем так как

Примечание - в дискретной модели Эванса рынок функциониру­ет следующим образом: утром на рынке обнаруживаются некоторое предложение S и спрос D. В зависимости от их значений цена начи­нает равномерно расти (если утром спрос был больше предложения) или убывать (если предложение было больше спроса). Предположим, что начальная цена была , при этом . За день она воз­растает до некоторого значения . На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать этой цене , при этом опять будет , а цена будет возрастать и т.д. (рис. 1).

Рисунок 1 Равновесное решение в дискретной модели Эванса

В отличие от паутинообразной модели рынка точка равновесия не переходится. Это значит: если цена была меньше равновесной, то она так и останется меньше и весь процесс изображается слева от точки равновесия, а если цена была больше равновесной, то она так и останется больше и весь процесс изображается справа от точки равновесия.

Задание 1 - Опишите процесс установления равновесной цены, если время непрерывно и рассматривается рынок одного товара. Спрос D и предложение S линейно зависят от цены: D = 8 - 0, 5р; S=2 + 1, 5p, а изменение цены пропорционально превышению спроса над предло­жением с коэффициентом пропорциональности γ = 1/2. В начальный момент времени цена товара была установлена в 5 д.е. Постройте гра­фик и сделайте выводы.