Модель рынка с прогнозируемыми ценами

В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависимыми только от текущей цены на товар. Однако спрос и пред­ложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции цено­образования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функ­ции цены p(t).

Задание 3 - Пусть функции спроса D и предложения S имеют следу­ющие зависимости от цены и ее производных:

,

S = 4p" + p' + 3p+3.

Данные зависимости вполне реалистичны, действительно:

а) спрос усиливается темпом изменения цены. Если темп растет (р" > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой произ­водной функции цены входит со знаком «—»;

б) предложение в еще большей мере усиливается темпом измене­ния цены, поэтому коэффициент при р" в функции S больше, чем в D. Рост цены также увеличивает предложение, поэтому слагаемое, содер­жащее р', входит в выражение для S coзнаком «+».

Пример. Требуется определить закон, устанавливающий зависи­мость цены от времени.

Пусть функции спроса D и предложения S имеют следу­ющие зависимости от цены и ее производных:

,

S = 4p" + p' + 3p+3.

Решение. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S, получим

3р" - р' - 2р+18 = 4р" + р'+3р+3,

р" + 2р'+5р = 15.(6)

Уравнение (2.26) представляет собой неоднородное дифференци­альное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции p(t). Общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соот­ветствующего однородного уравнения

р" +2р'+5р = 0. (7)

Характеристическое уравнение имеет вид .

Его кор­ни — комплексно-сопряженные числа:

,

, и, сле­довательно, общее решение уравнения (7) имеет вид

,

где С₁, С₂ — произвольные постоянные.

В качестве частного решения неоднородного уравнения (2.26) возьмем решение р = р*— постоянную величину как установившуюся цену.

Подставим р = const в уравнение (2.26), получим

, .

Тогда общее решение уравнения (2.26) имеет вид

.

Нетрудно увидеть, что при , т.е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту р* = 3 и колеблются около нее. Это означает, что все цены стремятся к установившейся цене р* с колебаниями около нее, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

Можно привести частное решение этой задачи в двух вариантах.

1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени известна цена, а также тенденция ее изменения: t = 0, р(0) = 4, р'(0) = 1.

Подставляя первое условие в , получим ; , откуда =1, т.е. получили .

Дифференцируя это выражение, имеем

Используем второе условие задачи Коши:

, , откуда С₂= 1.

Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид

.

2 Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цены и спрос: t= 0, р(0) = 4, D(0) = 30. Поскольку первое начальное условие такое же, как и в предыдущем случае, то имеем решение

.

Тогда производные функции p(t) выражаются формулами

Отсюда и .

Подставляя эти равенства, а также р(0) = 4 и D(0) = 30 в выражение

D = 3p" -p'-2p+18, получим С₂=-2.

Тогда решение данной задачи имеет вид