![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Модель рынка с прогнозируемыми ценами
В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависимыми только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены p(t). Задание 3 - Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены и ее производных:
S = 4p" + p' + 3p+3. Данные зависимости вполне реалистичны, действительно: а) спрос усиливается темпом изменения цены. Если темп растет (р" > 0), то рынок увеличивает интерес к товару, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком «—»; б) предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при р" в функции S больше, чем в D. Рост цены также увеличивает предложение, поэтому слагаемое, содержащее р', входит в выражение для S coзнаком «+». Пример. Требуется определить закон, устанавливающий зависимость цены от времени. Пусть функции спроса D и предложения S имеют следующие зависимости от цены и ее производных:
S = 4p" + p' + 3p+3.
Решение. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = S, получим 3р" - р' - 2р+18 = 4р" + р'+3р+3, р" + 2р'+5р = 15.(6) Уравнение (2.26) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции p(t). Общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения р" +2р'+5р = 0. (7) Характеристическое уравнение имеет вид Его корни — комплексно-сопряженные числа:
где С1, С2 — произвольные постоянные. В качестве частного решения неоднородного уравнения (2.26) возьмем решение р = р*— постоянную величину как установившуюся цену. Подставим р = const в уравнение (2.26), получим
Тогда общее решение уравнения (2.26) имеет вид
Нетрудно увидеть, что Можно привести частное решение этой задачи в двух вариантах. 1. Задача Коши. Пусть в начальный момент времени известна цена, а также тенденция ее изменения: t = 0, р(0) = 4, р'(0) = 1.
Подставляя первое условие в Дифференцируя это выражение, имеем Используем второе условие задачи Коши:
Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид
2 Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цены и спрос: t= 0, р(0) = 4, D(0) = 30. Поскольку первое начальное условие такое же, как и в предыдущем случае, то имеем решение
Тогда производные функции p(t) выражаются формулами Отсюда Подставляя эти равенства, а также р(0) = 4 и D(0) = 30 в выражение D = 3p" -p'-2p+18, получим С2=-2. Тогда решение данной задачи имеет вид
|