Рассмотрим задачи, содержащие несколько полов и потолков.

1) что такое |‾ |_х_|‾ |? Ответ прост. Т.к. |_х_| - целое число, то |‾ |_х_|‾ | - это просто |_х_|. Аналогичный ответ будет для любого другого выражения, в котором самый внутренний |_х_| окружен каким – угодно числом полов и потолков.

2) проверить верно ли утверждение:

|_ _|= при x R

Очевидно, что данное равенство справедливо при х Z, т.е. когда х – целое, т.к. в этом случае х=|_х_|. Равенство справедливо и для х=π =3, 14159..., х=е=2, 7182…, φ =(1+ )/2=1.61803. Т.к. во всех этих случаях получаем, 1=1. это частные случаи, которые не дают ответа в общем случае.

Для доказательства положим m=|_ _|. Воспользуемся правилом (а), получим: m≤ < m+1. тем самым мы избавляемся от скобок наружного пола, ничего не теряя при этом. Т.к. все три части последнего неравенства неотрицательны, возведем и х в квадрат, получим: m² ≤ |_х_| < (m+1)². Извлечем корень из всех частей, получим m≤ √ х< m+1 и воспользуемся правилом (а), получим m=|_ _|. Итак, доказали, что |_ _|= m=|_ _|.

Утверждение задачи 2 можно доказать для более общего случая.

Теорема: Пусть f(x)- непрерывная монотонно возрастающая функция, обладающая свойством что f(x) – целое число, следовательно х = целое число. Тогда выполняется равенство:

|_f(х)_|=|_f(|_х_|)_| и |¯ f(х)¯ |=|¯ f(|¯ х¯ |)¯ | (7)

всякий раз, когда определены функции f(x), f(|_х_|) и f(|¯ х¯ |).

Докажем второе равенство: |¯ f(х)¯ |=|¯ f(|¯ х¯ |)¯ |, а доказательство для полов будет подобным.

Если х=|¯ х¯ |, то доказательство очевидно. (х=|¯ х¯ | < => х Z). В противном случае х< |¯ х¯ |, а f(x)< f(|¯ х¯ |), т.к. f(x) – возрастающая функция. Тогда |¯ f(х)¯ |≤ |¯ f(|¯ х¯ |)¯ |, т.к. функция потолок |¯ …¯ | - неубывающая функция. Если |¯ f(х)¯ |< |¯ f(|¯ х¯ |)¯ |, то должно найтись число у, такое что х≤ у≤ |¯ х¯ | и f(x)= f(|¯ х¯ |), т.к. f – непрерывная функция. Причем у – целое по определению функции f. Но непосредственно между х и |¯ х¯ | не может быть никакого целого числа. Это противоречие означает, что выполняется равенство: |¯ f(х)¯ |=|¯ f(|¯ х¯ |)¯ |.

Следствие: для всех m, n Z и n> 0 выполняются равенства:

Пусть m=0, тогда . Троекратное деление на десять с последовательным округлением (отбрасыванием) цифр остатка – это то же самое, что и непосредственное деление на 1000 с последующим отбрасыванием всего остатка.

Решение многих задач математики приводит к вопросу: сколько целых чисел содержится в интервале? Рассмотрим эту задачу для открытого интервала – (α, β); замкнутого – [α, β ]; полуоткрытого – [α, β); (α, β ].

Решим эту задачу сначала для полуоткрытых интервалов [α, β); (α, β ].

Вообще, почти всегда удобнее иметь дело с полуоткрытыми интервалами, чем с открытыми и замкнутыми. К примеру, они аддитивны – при объединении полуоткрытых интервалов [α, β) и [β, γ) получается полуоткрытый интервал: [α, β) ∪ [β, γ) = [α, γ).

Для открытых интервалов это равенство не выполняется, т.к. точка β не входит ни в один из интервалов и она оказывается исключенной из интервала (α, γ).

Для замкнутых интервалов – точка β входит в оба интервала и она оказалась бы включенной в [α, β ] – дважды.

Вернемся к решению задачи.

Рассмотрим случай, когда α и β – целые числа. Тогда интервал [α, β) содержит ровно β – α целых чисел: α, α +1, …, β -1. При условии, что α ≤ β. Точно также интервал (α, β ] содержит β – α целых чисел (α ≤ β).

Пусть теперь α и β – любые действительные числа. Тогда в силу свойств 1°-4° из (2) наша задача сводится к более легкой:

α ≤ n< β < => |‾ α ‾ |≤ n< |‾ β ‾ |,

α < n≤ β < => |_ α _|≤ n< |_β _|.

Когда n – целое число. Интервалы справа имеют целочисленные концевые точки и содержат такое же количество целых чисел, что и интервалы слева, имеющие концами действительные числа. Поэтому интервал [α, β) содержит ровно |‾ β ‾ | - |‾ α ‾ | целых чисел, а интервал (α, β ] ровно |_β _| - |_ α _| целых чисел. Эта задача относится к случаю, когда действительно необходимо обзавестись скобками пола и потолка, вместо того чтобы избавляться от них.

Замечание. Для запоминания удобно установить закономерность: интервалам, содержащим левую концевую точку [α, β) соответствуют потолки, а интервалам, содержащим свою правую концевую точку (α, β ] соответствуют полы. Хотя интуитивное ожидание было противоположным.

Аналогичный разбор показывает, что замкнутый интервал [α, β ] содержит |_β _| - |‾ α ‾ | +1 целых чисел, а открытый интервал (α, β) содержит |‾ β ‾ | - |_ α _| - 1 целых чисел, в последнем случае налагаем условие, что α ≠ β. Если же α =β, то мы получим, что пустой интервал (α, α) содержит -1 целых чисел. Итак, решение задачи можно представить в виде:

интервал количество ограничение

целых чисел (9)

[α, β ] |_β _| - |‾ α ‾ | +1 α ≤ β

[α, β) |‾ β ‾ | - |‾ α ‾ | α ≤ β

(α, β ] |_β _| - |_ α _| α ≤ β

(α, β) |‾ β ‾ | - |_ α _| - 1 α < β