Свойства отношений

Об общих отношениях как подмножествах прямых произведений можно сказать очень мало. Поэтому есть смысл изучать только специальные отношения, обладающие некоторыми свойствами. Здесь мы разберем основные свойства бинарных отношений.

Определение 1: Пусть R- бинарное отношение на множестве A. Тогда

a) R - рефлексивно, если " xÎ A x R x

b) R - симметрично, если x R y Þ y R x

c) R - транзитивно, если x R y Ù y R z Þ x R z

d) R - антисимметрично, если x R y Ù y R x Þ x=y.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть r= {(x, y)| x, yÎ N и x – делитель y}

s={(x, y)| x, yÎ N и x£ y}

t={(x, y)| x, yÎ N \{1} и (x и y имеют общий делитель)}.

Изучим свойства этих отношений:

r - рефлексивно: x делитель x " xÎ N; несимметрично: 2 делитель 4, 4 – не делитель 2; транзитивно: x делитель y, y делитель z Þ x делитель z; антисимметрично: если x делит y и y делит x, ò î x=y.

s - рефлексивно, несимметрично, транзитивно, антисимметрично;

t -рефлексивно, симметрично, но не транзитивно(3 и 6, 6 и 8) и не антисимметрично

Замечание: свойства симметричности и антисимметричности не являются взаимоисключающими. Отношение I_X на любом множестве X является симметричным и антисимметричным.

2. P- множество всех людей. Зададим отношение B: x B y Û x брат y. Рассмотрев семью, состоящую из двух братьев p и q и сестры r, имеем:

pBr, но не r B p- B не симметрично. Оно и не антисимметрично pBq, qBp, но p¹ q. Граф этого от ношения приведен ниже.

3. Задача: Найти ошибку в рассуждении: Если отношение R симметрично и транзитивно, то оно рефлексивно:

Доказательство: aRbÙ bRaÞ aRa.

Построить контрпример на множестве {1, 2, 3}.