![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Композиция независимых испытаний при одинаковых вероятностях успеха
Вероятность появления k раз события A в серии n независимых испытаний равна: · Вероятность того, что событие A произойдет не более чем k раз. Обозначим Pn (k) вероятность того, что событие A произойдет не более чем k раз в n испытаниях, т.е. появится или 0, или 1, или 2, или 3, …, или k раз. Тогда вероятность Pn (k) будет равна сумме первых k членов формулы Бернулли: Pn (k)= · Вероятность того, что событие A произойдет не менее чем k раз. Rn(k) = · Вероятность того, что событие A произойдет хотя бы одинраз. Rn(1) = · Вероятность того, что событие A произойдет не более одногораза. Pn (1)= В Mathcad значения вероятностей по формуле Бернулли выводит встоенная функция dbinom(k, n, p), кумулятивные вероятности вычисляются функцией pbinom(k, n, p). Задание 3: В процессе проверки качества деталей на контроль взято 10 деталей, из которых наугад осуществляется выборка отдельных деталей с возвращением в контрольную группу после проверки. Доля некондиционных деталей во всей партии равна 0, 05. Каковы вероятности обнаружить в контрольной группе: а) некондиционные детали; б) не более двух некондиционных деталей; в) не менее двух некондиционных деталей? Решение: По условию задачи k =2, n =10, p =0, 05, q =1- p =0, 95. Вероятность обнаружить 2 некондиционные детали из 10 вычисляется по формуле: Ответ на второй вопрос задачи дает формула для кумулятивной вероятности: Pn (k)= P10 (2)= 0, 599+0, 315+0, 075=0, 988. Для ответа на третий вопрос воспользуемся формулой: Rn(k) = R10(2) =1-[P10(0)+P10(1)]=0, 086. При решении этой задачи в Mathcad по формуле Бернулли вычисляется P10 (2). Прямые вычисления сопровождаются применением функций dbinom и combin. Затем на основе dbinom и pbinom формируются две функции пользователя, с помощью которых вычисляются значения вероятностей Pn(k) и Pn (k) при различных исходных значениях k, n и p. Вероятности Pn(k) обозначены D(x, n), кумулятивные вероятности – через P(x, n), а вероятность R10(2) обозначена R. Задание для самостоятельного решения: В скольких шахматных партиях с равным по силе противником выигрыш более вероятен: в трех партиях из четырех или в пяти из восьми? Провести исследование влияния числа испытаний (n =10 и n =20) на вероятности Pn(k) появления ряда успехов и кумулятивные вероятности Pn (k) на примере задания 3. Для этого введем значения для n – 10 и для k от 0 до 20. Для введения промежутка воспользуемся той же кнопкой клавиатуры, что и для введения присваивания. Также зададим векторы yk, y1k, zk, z1k, показывающие изменение соответствующих вероятностей.
Отобразим получившиеся зависимости на графике: Вероятности Pn(k) довольно быстро уменьшаются до нуля, а значения Pn (k) также быстро приближаются к единице. Из приведенного графика видно, что вероятности Pn(k) и Pn (k) с увеличением числа испытаний медленнее стремятся к своим установившимся значениям (Pn(k) стремится к 0, 988 и Pn (k) к 0, 086). Для более полной демонстрации данного поведения приведем численные значения первых четырех вероятностей Pn(k) при n =10 (вектор Y) и при n =20 (вектор Y1). Эти векторы объединены в двухстолбцовую матрицу D1 при помощи встроенной матричной функции augment.
|