Другие виды уравнений, решаемых методом введения параметра.

А. Уравнение вида разрешимо относительно y:

.

Полагаем , тогда . Дифференцируем последнее уравнение и, заменив dy на pdx, получаем , откуда

и , .

Это общее решение дифференциального уравнения в параметрической форме.

Пример 4.2. Решить уравнение

(a и b – постоянные).

Решение. Положим , тогда ,

или ,

откуда

и .

Общее решение будет иметь вид:

.

В. Уравнение вида разрешимо относительно , т.е. . Полагая , получим . Кроме того, т.е. и . Проинтегрировав, найдем общее решение дифференциального уравнения в параметрической форме:

, .

Пример 4.3. Решить уравнение

Решение. Положим , тогда ,

В итоге

, .

4117. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение Клеро. После введения параметра уравнение имеет вид:

. (4.9)

Взяв полный дифференциал и заменив на , получим:

, откуда .

Если , то . Подставив в (4.9), получаем

. (4.10)

Далее, подставив в уравнение , имеем

. (4.11)

Очевидно, что (4.11) может быть получено из (4.10) дифференцированием по параметру C, следовательно, в соответствии с изложенным ранее, система уравнений (4.10), (4.11) в параметрической форме описывает особое решение уравнения, графиком которого является огибающая семейства прямых, заданных общим решением (4.10). Исключив параметр C из системы уравнений (4.10), (4.11), найдем уравнение огибающей в явном виде:

.

Контрольные вопросы.

1. Какое решение дифференциального уравнения называется особым?
2. Что такое особая интегральная кривая?
3. Какая кривая называется огибающей семейства кривых?
4. Запишите общий вид уравнения Клеро, опишите метод решения.
5. Перечислите некоторые типы уравнений, решаемых методом введения параметра.