![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами n-го порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с постоянными коэффициентами Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (6.9) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным выше. Частное решение неоднородного уравнения для случая правых частей специального вида находится методом подбора, или иначе, методом неопределенных коэффициентов. Общий вид правой части уравнения (6.9), при котором применим метод неопределенных коэффициентов, следующий:
Здесь
где Пример 6.4. Решение уравнения Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
Его характеристическое уравнение: имеет корни
Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Сравнивая его правую часть с формулой (6.10), видим, что
Удобно расположить Сложив всё, получим:
а общее решение неоднородного уравнения
Пример 6.5. Решить уравнение Решение. Однородное уравнение имеет вид его характеристическое уравнение:
Общее решение: Чтобы правильно выбрать вид частного решения неоднородного уравнения согласно формуле (6.11), сравним правую часть уравнения с общим её представлением по формуле (6.10). Очевидно,
Подставим в исходное уравнение:
В итоге
Общее решение:
4275 (1-6). Решить уравнение
где 1) 1. Решение. Характеристическое уравнение Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде откуда
Общее решение неоднородного уравнения:
2. Решение. Правая часть уравнения имеет вид После сложения получим
Общее решение неоднородного уравнения:
3. Решение. Правая часть уравнения имеет вид
Подставив в уравнение, получим
Приравняв коэффициенты при
В итоге общее решение уравнения:
4. Решение. Частное решение ищем в виде многочлена с неопределенными коэффициентами, степень которого совпадает со степенью многочлена в правой части уравнения:
После подстановки в уравнение получаем
Приравняв коэффициенты при откуда
Общее решение уравнения
Контрольные вопросы.
|