На дом. № 4155, 4156, 4159, 4160, 4163, 4169, 4189, 4208.

Дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид

, ,

или, если оно разрешено относительно ,

. (5.1)

Здесь функция переменной определена в некоторой области ,

а D – область в

Всякая функция , определенная и раз дифференцируемая на промежутке , называется решением этого уравнения, если она обращает его в тождество при подстановке.

Задача нахождения решения уравнения (5.1), соответствующего начальным условиям

(5.2)

называется задачей Коши для уравнения (5.1) (Здесь ). Условия (5.2) называются условиями Коши или начальными условиями.

Общим решением дифференциального уравнения -го порядка (5.1) называется множество всех его решений. Оно обычно представляется формулой , содержащей n произвольных независимых между собой постоянных , , таких, что, если заданы начальные условия (5.2), то могут быть найдены все значения , при которых

будет частным решением уравнения (5.1), удовлетворяющим условиям (5.2).

В процессе интегрирования уравнения -го порядка иногда удается получить уравнение более низкого порядка, эквивалентное исходному. Такое уравнение называется промежуточным интегралом.

Рассмотрим три вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1. Уравнение вида . После -кратного интегрирования получается общее решение

Пример 5.1. Решить уравнение .

Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем:

.

2. Уравнение, не содержащее искомой функции и её производных до порядка включительно:

.

Порядок уравнения можно понизить на k единиц заменой

.

Уравнение примет вид:

.

Из этого уравнения определяем

, ,

а затем из уравнения

находим y k -кратным интегрированием.

Пример 5.2. Решить уравнение .

Решение. Полагая , получаем , откуда

, .

Последовательно интегрируя, получаем:

,

3. Уравнение не содержит независимой переменной:

.

Подстановка позволяет понизить прядок уравнения на единицу. Производные выражаются через производные функции .

,

и т.д.

Подстановка этих выражений в уравнение приводит к понижению порядка на единицу.

Пример 5.3. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Полагая , , получаем уравнение

Подстановкой оно сводится к линейному уравнению

,

общее решение которого

.

После обратной замены имеем

а после разделения переменных

, .

Проинтегрировав, получаем

откуда

.

Это общий интеграл данного уравнения.

4209. Решить уравнение .

Решение. Интегрируя уравнение последовательно три раза, получим:

, ,

,

Это и есть общее решение исходного уравнения.

4163. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит искомой функции , замена переменной позволит понизить порядок уравнения и оно примет вид

или ,

откуда

.

Проинтегрировав, получим

, .

Учтем, что , и продолжим интегрирование:

и

.

Это есть общее решение.

4171. Решить уравнение .

Решение. Уравнение не содержит переменной . Будем считать независимой переменной, а в качестве искомой функции примем

, тогда

Подставив всё в уравнение, получим:

откуда .

После интегрирования:

и наконец,

.

Контрольные вопросы.

1. Запишите общий вид дифференциального уравнения -го порядка.
2. Что называется общим решением дифференциального уравнения -го порядка?
3. Перечислите три вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.