Уравнение Слуцкого

Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е.Слуцким в 1915 году. Это уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса. Уравнение Слуцкого имеет вид:

.

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель приводит их к одной размерности). Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода. Для ценных товаров величина , т.е. спрос растет при росте дохода. В этом случае, согласно уравнению Слуцкого, : если спрос растет, то он растет больше при наличии компенсации, если падает - то в меньшей степени. Может оказаться и так, что , но , то есть товары i и j взаимозаменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации.

Уравнение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих i и j.

Из первых двух свойств функции полезности потребителя следует, что (на графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности). Если оказывается, что (спрос на товар растет при росте цены - такие товары называются товарами Гиффина), то отсюда вытекает, что - то есть это обязательно малоценный товар.

Проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной выше задачи потребительского выбора с функцией полезности .

Было получено:

Отсюда ; и .

В обоих случаях уравнения Слуцкого (при i = j и при i ¹ j)здесь выполнены.

Уравнение Слуцкого может быть использовано для нахождения , то есть для расчета эффекта замены и оценки взаимозаменяемости или взаимодополняемости благ, поскольку частные производные без компенсации рассчитываются значительно легче.

Рассмотрим эластичности функции спроса. Эластичность спроса по цене равна ; эластичностьспроса по доходу .

Для функции эластичность .

Из свойств функции спроса можно получить равенство , т.е. нулю должна равняться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.

Покажем, что если в задаче потребительского выбора всего два товара, то они обязательно являются взаимозаменяемыми. Для этого воспользуемся тем, что и положительностью частных производных функции полезности.

Предположим, что выросла цена 1-го товара .

Поскольку , спрос на этот товар при условии компенсации падает. Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы получили бы точку, в которой обоих товаров меньше, чем в начальной.

Следовательно, в этой точке значение функции полезности должно быть также меньше (а мы знаем, что в условиях компенсации оно равно начальному). Следовательно, спрос на второй товар при условии компенсации должен вырасти (т.е. ) и он является взаимозаменяемым с первым товаром.

Пример 10.2. На основании данных о потреблении взаимозаменяемых и взаимодополняемых продуктов x ₁ и x ₂ в различном сочетании i, их цене и , полезности U и бюджете (доходах) потребителя D построить кривую безразличия и определить оптимальный план потребления названных продуктов.

Исходные данные имеют вид:

U = 18; P ₁ = 5; P ₂ = 10, 3; D = 100.

Решение. В нашей задаче продукты х₁ и х ₂ являются взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми, т.е. функция смешанная. Поэтому можно воспользоваться моделью неоклассической функции полезности, которая имеет вид , где .

Чтобы убедиться в правильности предположения о форме связи, следует графически изобразить изучаемую зависимость в системе координат по данным о потреблении продуктов х₁ и х ₂. По виду графика можно предположить, что зависимость между x ₁ и x ₂ имеет вид при .

Решение задачи по построению кривой безразличия заключается в определении параметров функции b ₁ и b ₂. Параметры кривой безразличия b ₁ и b ₂ отражают степень полезности каждого из продуктов x ₁ и x ₂.

Определив параметры b ₁ и b ₂, зная одну из переменных - количество потребления продукта x ₁, всегда можно определить вторую переменную x ₂ так, чтобы обеспечить максимум полезности от потребления продуктов

.

Для расчета параметров функции целесообразно ее линеаризовать посредством логарифмирования.

Имеем .

Обозначим и запишем .

Отсюда .

Обозначив , можно записать .

Для определения коэффициентов A и B обычно применяют метод наименьших квадратов:

Учитывая, что определяют и .

Проверяют правильность расчетов и определяют расчетную кривую безразличия , отражающую отношения предпочтения, характерные для отдельного индивидуума.

На графике оптимальный план потребления соответствует точке касания бюджетной прямой и кривой безразличия.

Ее координаты, т.е. значения , определяются путем нахождения частных производных функций

После некоторых преобразований имеем

Полученные функции и есть функции спроса. Они отражают оптимальный размер потребления продуктов, обеспечивающий максимум полезности в рамках бюджетного ограничения при заданных ценах.

При расчете величин A и B можно воспользоваться таблицей вспомогательных расчетов.

Ниже приводятся расчеты для имеющихся данных.

Таблица 10.1

Расчет функции безразличия

i	х 1 i		х 2 i		y 1 iy2i	y2i2
	2, 9	1, 065	13, 5	2, 603	2, 772	6, 776
	3, 0	1, 099	12, 0	2, 485	2, 731	6, 175
	5, 0	1, 609	7, 5	2, 015	3, 242	4, 060
	7, 0	1, 946	6, 0	1, 792	3, 487	3, 211
	10, 0	2, 303	5, 0	1, 609	3, 706	2, 589
	12, 0	2, 485	4, 5	1, 504	3, 737	2, 262
	12, 3	2, 509	4, 6	1, 526	3, 829	2, 329

Определим коэффициенты A и B методом наименьших квадратов:

= = 2.890; = 3.329; = 0.75.