Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Уравнение Слуцкого






Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е.Слуцким в 1915 году. Это уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса. Уравнение Слуцкого имеет вид:

.

Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель приводит их к одной размерности). Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода. Для ценных товаров величина , т.е. спрос растет при росте дохода. В этом случае, согласно уравнению Слуцкого, : если спрос растет, то он растет больше при наличии компенсации, если падает - то в меньшей степени. Может оказаться и так, что , но , то есть товары i и j взаимозаменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации.

Уравнение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих i и j.

Из первых двух свойств функции полезности потребителя следует, что (на графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности). Если оказывается, что (спрос на товар растет при росте цены - такие товары называются товарами Гиффина), то отсюда вытекает, что - то есть это обязательно малоценный товар.

Проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной выше задачи потребительского выбора с функцией полезности .

Было получено:

Отсюда ; и .

 

В обоих случаях уравнения Слуцкого (при i = j и при i ¹ j)здесь выполнены.

Уравнение Слуцкого может быть использовано для нахождения , то есть для расчета эффекта замены и оценки взаимозаменяемости или взаимодополняемости благ, поскольку частные производные без компенсации рассчитываются значительно легче.

Рассмотрим эластичности функции спроса. Эластичность спроса по цене равна ; эластичностьспроса по доходу .

Для функции эластичность .

Из свойств функции спроса можно получить равенство , т.е. нулю должна равняться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.

Покажем, что если в задаче потребительского выбора всего два товара, то они обязательно являются взаимозаменяемыми. Для этого воспользуемся тем, что и положительностью частных производных функции полезности.

Предположим, что выросла цена 1-го товара .

Поскольку , спрос на этот товар при условии компенсации падает. Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы получили бы точку, в которой обоих товаров меньше, чем в начальной.

Следовательно, в этой точке значение функции полезности должно быть также меньше (а мы знаем, что в условиях компенсации оно равно начальному). Следовательно, спрос на второй товар при условии компенсации должен вырасти (т.е. ) и он является взаимозаменяемым с первым товаром.

Пример 10.2. На основании данных о потреблении взаимозаменяемых и взаимодополняемых продуктов x 1 и x 2 в различном сочетании i, их цене и , полезности U и бюджете (доходах) потребителя D построить кривую безразличия и определить оптимальный план потребления названных продуктов.

Исходные данные имеют вид:

 

i х 1 i i х 2 i
  2, 9   13, 5
  3, 0   12, 0
  5, 0   7, 5
  7, 0   6, 0
  10, 0   5, 0
  12, 0   4, 5
  12, 3   4, 6

U = 18; P 1 = 5; P 2 = 10, 3; D = 100.

Решение. В нашей задаче продукты х1 и х 2 являются взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми, т.е. функция смешанная. Поэтому можно воспользоваться моделью неоклассической функции полезности, которая имеет вид , где .

Чтобы убедиться в правильности предположения о форме связи, следует графически изобразить изучаемую зависимость в системе координат по данным о потреблении продуктов х1 и х 2. По виду графика можно предположить, что зависимость между x 1 и x 2 имеет вид при .

Решение задачи по построению кривой безразличия заключается в определении параметров функции b 1 и b 2. Параметры кривой безразличия b 1 и b 2 отражают степень полезности каждого из продуктов x 1 и x 2.

Определив параметры b 1 и b 2, зная одну из переменных - количество потребления продукта x 1, всегда можно определить вторую переменную x 2 так, чтобы обеспечить максимум полезности от потребления продуктов

.

Для расчета параметров функции целесообразно ее линеаризовать посредством логарифмирования.

Имеем .

Обозначим и запишем .

Отсюда .

Обозначив , можно записать .

Для определения коэффициентов A и B обычно применяют метод наименьших квадратов:

Учитывая, что определяют и .

Проверяют правильность расчетов и определяют расчетную кривую безразличия , отражающую отношения предпочтения, характерные для отдельного индивидуума.

На графике оптимальный план потребления соответствует точке касания бюджетной прямой и кривой безразличия.

Ее координаты, т.е. значения , определяются путем нахождения частных производных функций

 

 

 

После некоторых преобразований имеем

 

 

Полученные функции и есть функции спроса. Они отражают оптимальный размер потребления продуктов, обеспечивающий максимум полезности в рамках бюджетного ограничения при заданных ценах.

При расчете величин A и B можно воспользоваться таблицей вспомогательных расчетов.

Ниже приводятся расчеты для имеющихся данных.

 

Таблица 10.1

Расчет функции безразличия

 

i х 1 i х 2 i y 1 iy2i y2i2
  2, 9 1, 065 13, 5 2, 603 2, 772 6, 776
  3, 0 1, 099 12, 0 2, 485 2, 731 6, 175
  5, 0 1, 609 7, 5 2, 015 3, 242 4, 060
  7, 0 1, 946 6, 0 1, 792 3, 487 3, 211
  10, 0 2, 303 5, 0 1, 609 3, 706 2, 589
  12, 0 2, 485 4, 5 1, 504 3, 737 2, 262
  12, 3 2, 509 4, 6 1, 526 3, 829 2, 329
     

 

Определим коэффициенты A и B методом наименьших квадратов:

 

 

= = 2.890; = 3.329; = 0.75.



Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал