![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Необходимые и достаточные условия
Теорема ― высказывание, истинность которого устанавливается при помощи рассуждения (доказательства), проводимого на основе законов логики. Математические теоремы чаще всего носят общий характер, то есть доказывается, что все элементы некоторого множества обладают общим свойством или свойствами. Например. «Во всяком параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам». Логическая структура этой теоремы имеет вид: Это наиболее общая форма записи теорем. Однако часто предикат Р(х) имеет вид импликации А(х) → В(х), поэтому обычно теорема записывается в виде: ( ( Разъяснительная часть теоремы обычно начинается со слова «пусть», после чего разъясняется, об элементах какого множества пойдет речь, что означает каждый введенный символ. Переход от разъяснительной части теоремы к условию отличается словосочетанием «тогда, если», после чего указывается, что представляет из себя высказывательная форма А(х). Формулировка заключения теоремы начинается после частицы «то». Например, «Пусть ABCD ― произвольный четырехугольник. Тогда, если ABCD ― ромб, то диагонали ABCD ― перпендикулярны». Следует заметить, что разъяснительная часть теоремы часто отсутствует, когда понятно, элементы какого множества рассматриваются в теореме. С любой данной теоремой стандартного вида можно соотнести еще четыре утверждения: 1. ( 2. ( 3. ( 4. ( Заметим, что 1 и 4, 2 и 3 теоремы образуют в паре закон контрапозиции, поэтому логически эквивалентны. На практике, как правило, обычно доказывают прямую и (или) обратную теорему. Если истинна теорема ( Таким образом, доказать теорему стандартного вида ― это означает установить отношение следования между условием и заключением. Если верна теорема ( Если наряду с прямой теоремой будет верна и обратная теорема ( Например, теорема: «Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали перпендикулярны» имеет структуру (А(х) ↔ В(х)). 1. Необходимость В(х) (доказательство прямой теоремы): «Если параллелограмм ― ромб, то его диагонали перпендикулярны». 2. Достаточность В(х) (доказательство обратной теоремы): «Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом». Так как обе эти теоремы верны, то перпендикулярность диагоналей параллелограмма является необходимым и достаточным условием того, чтобы он был ромбом.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем суть метода доказательства от противного? 2. Что называют необходимым условием, достаточным, необходимым и достаточным?
|