Оптимальность по Парето

Если функции достигают максимум в одной и той же точке , то говорят, что задача (7.3) имеет идеальное решение.

Случаи существования идеального решения в многокритериальной задаче крайне редки. Поэтому основная проблема при рассмотрении задачи (7.3) – формализация принципа оптимальности, т.е. определение того, в каком смысле «оптимальное» решение лучше других. В случае отсутствия «идеального решения» в задаче (7.3) ищется компромиссное решение.

Определение (оптимальность по Парето). В задаче МКО точка называется оптимальной по Парето, если не существует другой точки , которая была бы предпочтительнее, чем .

Точки, оптимальные по Парето, образуют множество точек, оптимальных по Парето (множество неулучшаемых или эффективных точек) .

Оптимальные решения многокритериальной задачи следует искать только среди элементов множества альтернатив . В этой области ни один критерий не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного из других. Важным свойством множества Парето является возможность «выбраковывать» из множества альтернатив заведомо неудачные, уступающие другим по всем критериям. Обычно решение многокритериальной задачи должно начинаться с выделения множества . При отсутствии дополнительной информации о системе предпочтений менеджеру следует принимать решение именно из множества Парето .

В векторной оптимизации кроме множества Парето в общем случае нет общих правил, по которому варианту отдается предпочтение по сравнению с другим вариантом .

Часто решение многокритериальной задачи состоит в построении множества Парето-оптимальных точек и дальнейшем выборе одной из них на основе «здравого смысла» или с помощью какого-либо другого критерия.

Во всех случаях задача многокритериальной оптимизации каким-то способом сводится к задаче с одним критерием. Существует много способов построения такого окончательного критерия, однако ни одному из них нельзя заранее отдать наибольшее предпочтение. Для каждой задачи этот выбор должен делаться ЛПР.

Заметим, что целевые функции отображают множество точек, оптимальных по Парето в множество , которое называется множеством Парето.

При решении многокритериальной задачи часто возникает необходимость нормализации (нормирования) критериев , то есть приведение всех критериев к единому масштабу и безразмерному виду. В дальнейшем будем считать, что все критерии неотрицательны, то есть для всех .

Наиболее часто используется замена критериев их безразмерными относительными величинами :

,

где

.

Нормализованные критерии обладают двумя важными свойствами: во-первых, они являются безразмерными величинами, и, во-вторых, они удовлетворяют неравенству для любого . Эти свойства позволяют сравнивать критерии между собой.

Основные методы, применяемые при решении задач МКО, представлены на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Классификация методов решения многокритериальных задач