Определенный интеграл как функция верхнего предела

Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.

Если интегрируема на отрезке , то, очевидно, она интегрируема также на любом отрезке , вложенном в .

Положим по определению

,

где , а функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Пусть на отрезке . Тогда значение функции в точке равно площади под кривой на отрезке .

Это позволяет по новому взглянуть на некоторые известные функцию Например, , где , поэтому значение функции в точке численно равно площади под гиперболой на отрезке .

Рассмотрим теперь свойства функции .

Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции , т.е.

. (2)

Доказательство.

Покажем, что функция

(3)

является первообразной функции .

Согласно определению производной,

.

Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде , где и при .

Следовательно, .

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , то функция также непрерывна на .

Вычисление определенного интеграла возможно с применением первообразной для функции по формуле Ньютона-Лейбница.

Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке и – первообразная функции , то

. (4)

Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница.

Доказательство.

Возвратимся к уравнению (3). Полагая , находим значение постоянной :

.

Полагая в этом же уравнении , получаем:

.

Нахождение определённых интегралов с использованием формулы (4) осуществляется в два шага: на первом шаге находят первообразную для подынтегральной функции ; на втором – применяется собственно формула (3) – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. Введем обозначение для приращения первообразной

.

Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.

Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:

1) функция непрерывна на отрезке ;

2) отрезок является множеством значений функции , определенной на отрезке и имеющей на нем непрерывную производную;

3) и , то справедлива формула

.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Положим . Тогда и .

Если , то , и если , то . Следовательно,

.

Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.

Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема 5. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула

.

Пример 2. Вычислить .