Площадь фигуры в полярной системе координат

Пусть в полярной системе координат задана функция , где – полярный радиус, – полярный угол. Пусть, далее, функция непрерывна при изменении угла в пределах ( и – в радианах). Фигура, ограниченная линией , с которой любой луч, исходящий из полюса , пересекается не более чем в одной точке, и двумя лучами и , называется криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и двумя полярными радиусами и (), находится по формуле

.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

Решение. Найдем область определения угла из условия, что . Имеем: , т. е.

.

Соответственно величина угла меняется в следующих пределах:

в зависимости от значения . Найдем границы изменения величины угла :

при :	;
при :	;
при :	;
при

где – область определения -го лепестка.

Достаточно вычислить площадь одного лепестка

Следовательно, площадь всех лепестков