Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, w₁), (x₂, w₂), …, (x_k, w_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат w_i. Точки (x_i, w_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Рис. 7. Гистограмма частот.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.

Частичный интервал, длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10		0, 8
10 – 15		1, 2
15 – 20		3, 2
20 – 25		7, 2
25 – 30		4, 8
30 – 35		2, 0
34 – 40		0, 8

Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Примеры.

1. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

n = 3 + 10 + 7 = 20.

.

Получаем

	0, 15	0, 50	0, 35

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.

Найдем плотность частоты :

Частичный интервал, длиною h = 3	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5
5 – 8		3, 3
8 – 11		8, 3
11 – 14

Построим гистограмму частот.

Рис. 10. Гистограмма частот.

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки n.

.

Теперь найдем относительные частоты :

Получим:

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0, 18	0, 06
5 – 8	0, 2	0, 07
8 – 11	0, 5	0, 16
11 – 14	0, 12	0, 04

Плотности частот нужно вычислить. При этом h = 3.

Построим гистограмму относительных частот.

Рис.11. Гистограмма относительных частот.