Точечные оценки

Определение. Статистической оценкой Q^* неизвестного параметра Q теоретического распределения называют функцию f(x₁, x₂, …, x_n) от наблюдаемых случайных значений x₁, x₂, …, x_n.

Определение. Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Q^* = f(x₁, x₂, …, x_n), где x₁, x₂, …, x_n ─ результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).

Определение. Несмещенной называют точечную оценку Q^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, то есть M(Q^*) = Q. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, x₂, …, x_n признака выборки объема n различны, то

Если же все значения признака x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

,

где – объем выборки.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (неизвестного математического ожидания).

Замечание. Если первоначальные варианты ─ большие числа, то для упрощения решения целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же

число С, то есть перейти к условным вариантам u_i = x_i – c. Тогда

.