![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Решение типовых задач по математической статистике
Задача 1. Из крупного стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц): 35, 9; 35, 3; 42, 7; 45, 2; 25, 9; 35, 5; 33, 4; 27, 0; 35, 9; 38, 8; 33, 7; 38, 6; 40, 9; 35, 5; 44, 1; 37, 4; 34, 2; 30, 8; 38, 4; 31, 3. Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: Решение. Запишем исходные данные в виде вариационного ряда, то есть располагая их в порядке возрастания: 25, 9; 27, 0; 30, 8; 31, 3; 33, 4; 33, 7: 34, 2; 35, 3; 35, 3; 35, 5; 35, 9; 35, 9; 37, 4; 38, 4; 38, 6; 38, 8; 40, 9; 42, 7; 44, 1; 46, 2. Максимальное значение признака составляет 46, 2 ц, а минимальное – 25, 9 ц. Разница между ними составляет 20, 3 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 5–6 классов. Возьмем длину интервала ∆ x=5. Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадет два значения, поэтому n1= 2. Во второй интервал попадают пять значений, поэтому n2= 5. Аналогично n3= 9, n4=3, n5= 1. Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал: w1=n1/n=2/20=0, 1; w2=n2/n=5/20=0, 25; w3=n3/n=9/20=0, 45; w4=n4/n=3/20=0, 15; w5=n5/n=1/20=0, 05. Для проверки вычисляем сумму относительных частот: w1+ w2+ w3+ w4+ w5=0, 1+0, 25+0, 45+0, 15+0, 05=1. Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений. Вычислим плотности wi/∆ x относительных частот вариант. Получаем w1/∆ x1=0, 1/5=0, 02; w2/∆ x2=0, 25/5=0, 05; w3/∆ x3=0, 45/5=0, 09; w4/∆ x4=0, 15/5=0, 03; w5/∆ x5=0, 05/5=0, 01. Полученные результаты сведем в таблицу.
Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотностей относительных частот. Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: Расчеты удобно проводить с помощью таблицы
Подставляя полученные значения в формулы, получаем
Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:
Вычисляем теперь радиус доверительного интервала: tγ ∙ sx = 2, 10ּ 1, 34 = 2, 8, где значение Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней заключен в пределах от Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в колхозе на площади 1000 га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:
Найти величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве; величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве; доверительный интервал, в котором с вероятностью 0, 95 заключена средняя урожайность на всем массиве. Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим: (24∙ 3+2∙ 10+28∙ 6+30 ∙ 16+3 ∙ 15+34∙ 30+36∙ 20)/100 = 3200/100 = 32. Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу
+16∙ (30–32)2+15∙ (32–32)2+30∙ (34–32)2+20∙ (36–32)2)= =1/99ּ (192+360+96+64+0+120+320)=1/99ּ 1152=11, 64. Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле
Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0, 34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3, 4 ц. Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством P( согласно которому можно утверждать, что с надежностью γ доверительный интервал Так как n = 100 > 30, то значениеtγ найдем из условия γ =2Ф(tγ )=0, 95. По таблице приложения 2 находим значение Ф(tγ )=0, 475 и tγ =1, 96.
Концы доверительного интервала:
Таким образом, с вероятностью 0, 95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31, 33 ц до 32, 67 ц.
|