Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки .

Определение. Частной производной функции в точке по переменной называется предел отношения частного приращения в этой точке к вызвавшему его приращению переменной при .

Обозначения частной производной:

Итак, согласно определению,

.

Аналогично

.

Таким же образом определяются частные производные для функции большего числа переменных. Например, для функции :

.

При вычислении частной производной по переменной все остальные независимые переменные считают постоянными величинами (равными соответствующим координатам точки ), и применяют правила дифференцирования функции одной переменной [4].

Примеры. 1. .

(производная второго слагаемого равна нулю как производная константы);

.

2. .

.

3. . Частная производная по переменной является производной степенной функции с фиксированным показателем ; поэтому . Частная производная по переменной является производной показательной функции с фиксированным основанием ; поэтому .

4. . По правилу дифференцирования сложной функции:

;

.

5. .

.

6. .

.