Частные производные сложной функции

Пусть в области задана функция двух переменных:

, (6)

у которой переменные и в свою очередь являются функциями переменных и :

, (7)

заданными в области .

Тогда является сложной функцией независимых переменных и с промежуточными переменными и :

. (8)

Рассмотрим задачу нахождения частных производных этой сложной функции без использования явной записи (8).

Пусть точка , и функции и , согласно уравнениям (7), переводят ее в точку :

.

Теорема. Пусть выполняются три условия:

1. В окрестности точки существуют частные производные , непрерывные в самой точке .

2. В точке существуют частные производные .

3. Функции непрерывны в точке .

Тогда в точке существуют частные производные сложной функции , и для них справедливы формулы:

(9)

,

или в другой записи:

.

Доказательство. Проведем его для частной производной . Придадим переменной в точке приращение ; оно вызовет частные приращения промежуточных переменных , которые в свою очередь вызовут частное приращение сложной функции . В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращению применима формула (4):

,

откуда, деля на , получаем:

. (10)

Здесь — постоянные величины для фиксированной точки . Далее, в силу непрерывности функций (условие 3):

, ,

а тогда и величины в представлении (10) также стремятся к нулю.

Переходя в равенстве (10) к пределу при , получаем на основании свойств предела и условия 2:

,

и далее,

.

Замечание. Аналогичные формулы имеют место для функций большего числа переменных. Например, в ситуации:

,

и

, , , ,

имеем:

Пример. Пусть

;

.

Тогда

;

далее,

Поэтому

;

.