Уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности

Напомним, что плоскость , проходящая через точку и перпендикулярная нормальному вектору (рис. 14), задается уравнением:

.

Напомним далее, что условие параллельности плоскости и пространственной прямой , заданной каноническими уравнениями

,

имеет вид:

.

Определение. Прямая называется касательной прямой к поверхности в точке , если она является касательной в точке к какой-либо кривой , лежащей на поверхности (рис. 15).

Заметим что через точку можно провести разные кривые и получить, соответственно, разные касательные прямые к поверхности (рис. 16).

Пусть поверхность задана уравнением .

Определение. Точка называется обыкновенной точкой поверхности , если выполняются три условия:

1. В окрестности точки существуют частные производные , , .

2. В точке частные производные непрерывны.

3. В точке частные производные не обращаются одновременно в нуль.

Теорема. Все касательные прямые к поверхности в неособенной точке лежат в одной плоскости.

Доказательство. Пусть — плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор

(вектор является ненулевым поскольку точка по условию неособенная). Покажем, что в плоскости лежит любая касательная прямая . Пусть эта прямая является касательной к линии , имеющей параметрические уравнения

,

и

.

Канонические уравнения касательной к линии имеют вид:

.

Направляющий вектор касательной имеет координаты:

.

Достаточно показать, что векторы и перпендикулярны; необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю скалярного произведения: . Имеем:

;

правая часть здесь является полной производной сложной ; при этом функция при всех тождественно равна нулю, поскольку точка лежит на поверхности, и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению ). Итак,

. ▄

Определение. Плоскость , в которой лежат все касательные прямые к поверхности в неособенной точке , называется касательной плоскостью к поверхности.

Пример. Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в точке . Здесь . Вычислим частные производные функции :

.

Уравнение касательной плоскости:

.

Уравнения нормали к поверхности

Направляющий вектор нормали совпадает с нормальным вектором касательной плоскости:

.

Поэтому канонические уравнения нормали к поверхности имеют вид:

В последнем примере канонические уравнения нормали имеют вид:

.