Экстремумы

Пусть функция задана в области , содержащей точку .

Определение. 1. Точка называется точкой максимума функции , если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство (другими словами, точка является для этой окрестности точкой наибольшего значения).

2. Аналогично точка называется точкой минимума функции , если для всех точек из некоторой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называют точками экстремума.

Замечание. Понятие точки экстремума является локальной характеристикой функции, говорящей о ее поведении в малой окрестности точки . В точках, далеких от , значения функции могут быть больше, чем в точке максимума или меньше, чем в точке минимума (рис. 18).

Необходимое условие экстремума

Теорема. Если функция имеет в точке экстремум, то каждая из частных производных , если она существует в этой точке, равна нулю.

Таким образом, необходимое условие экстремума в точке в случае существования частных производных имеет вид:

; .

Доказательство. Пусть например, — точка максимума, и в этой точке существует частная производная . Зафиксируем и рассмотрим функцию одной переменной . Тогда . Из определения точки экстремума следует, что является для функции точкой максимума, и необходимое условие экстремума для функции одной переменной дает: , то есть .

Определение. Точка области определения функции называется стационарной, если в этой точке существуют частные производные первого порядка, и выполняется необходимое условие экстремума:

.