Дифференцирование неявной функции

Пусть в области задана функция двух переменных .

Определение. Функция в окрестности точки , задана неявно уравнением

, (20)

если при всех из этой окрестности справедливо равенство .

Заметим, что обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного задания: ; здесь .

Теорема. Пусть для неявной функции , задаваемой уравнением , имеем , так что

, (21)

и выполняются три условия:

1. Неявная функция непрерывна в точке .

2. Функция и ее частные производные непрерывны в точке .

3. .

Тогда неявная функция дифференцируема в точке , и

.

Доказательство. Придадим переменной в точке приращение ; оно, в свою очередь, вызовет приращение неявной функции, и, как следствие, полное приращение функции :

.

Пара чисел , будучи аргументом и значением неявной функции, также удовлетворяет уравнению (20), то есть

. (22)

При этом в силу непрерывности функции имеем: =0.

Теперь, с одной стороны, из (21) и (22) следует

,

а с другой стороны, ввиду непрерывности частных производных, для имеет место представление (4):

с бесконечно малыми при . Таким образом,

.

Выразим отсюда :

(знаменатель в правой части отличен от нуля в малой окрестности точки ввиду условий и ). Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем:

.

Пример. Пусть неявная функция задана уравнением

;

здесь . Точка удовлетворяет уравнению, так что для неявной функции имеем: . Далее,

; .

Поэтому

.

и .