VI. Похідна функції заданої параметрично

Якщо залежність функції від незалежної змінної задана з допомогою допоміжної змінної (параметру) :

то

.

Приклад 5. Дана функція

Знайти першу та другу похідну від по .

Маємо

,

.

В-нт	Завдання
В-нт	Завдання

ЗАДАЧА. Написати рівняння дотичної і нормалі до кривої у = х² – х у точках її перетинання з віссю абсцис.

РІШЕННЯ. Знаходимо точки перетину кривої з віссю абсцис. Для цього вирішуємо рівняння у = 0:

х² – х = 0; х/х - 1/=0;

х₁ = 0 х₂ = 1

Виходить, крива перетинає вісь абсцис у крапках О (0; 0) і А(1; 0).

Якщо y = f(x) – рівняння кривої, а М(х₀; у₀) – точка, що лежить на цій кривій, то рівняння дотичної до кривої в точці М має вигляд

у - y₀=f’(x₀)(x - x₀)

а рівняння нормалі до кривої в точці М буде

y - y₀= - (x - x₀)

Тут f’(x₀) 0

Знаходимо рівняння дотичної і нормалі до даної кривої в точці O(0; 0). Тому що f(x)=x²- x так як f’(x)=2x - 1

Тому рівняння дотичної:

у-0=(-1) (х - 0), так як у = -х;

Рівняння нормалі

у -0= - (х - 0), так як у = х.

Потім знаходимо рівняння дотичної і нормалі до даної кривої в точці А(1; 0). Тому що х₀ = 1, у₀ = 0 f’(x₀) =2 _* 1 -1 = 1,

те рівняння дотичної

у - 0 = 1(х - 1), так як у = х - 1,

і рівняння нормалі

у - 0= - (х - 0), тобто у = - х + 1.

Похідна, її геометричний і фізичний зміст.

Скласти рівняння дотичної і нормалі до даної кривої у зазначеній точці:

В1	y = x2–7x+3 x0 = 1	В14	y = 4sin6x x0 =
В2	y = x2–16x+7 x0 = 1	В15	y = x0 = 2
В3	y = x0 = 8	В16	y = x-x3 x0 = -1
В4	y = x0 = -3	В17	y = -3 x0 = 64
В5	y = x3–2x2+4x-7 x0 = 2	В18	y = 2x + x0 = 1
В6	y = x3-5x2+7x-2 x0 = 1	В19	y = x0 = 1
В7	y = x2-6x+2 x0 = 2	В20	y = x0 = -2
В8	y = -x+5 x0 = 4	В21	y = 3 x0 = 1
В9	y = -27x+60 x0 = 2	В22	y = +3 x0 = 2
В10	y = - +7x - x0 = 3	В23	y = -20 x0 = -8
В11	y = 3tg2x+1 x0 =	В24	y = -2( +3 ) x0 = 1
В12	y = 4tg3x x0 =	В25	y = 6x2-4x+2 x0 = -1
В13	y = 6tg5x x0 =