Тема 1. Системы линейных уравнений.

Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Жордана-Гаусса:

Решение. Метод Жордана-Гаусса - метод полного исключения неизвестных Систему можно решить, используя разные формы записи, например, в виде расширенной матрицы системы или в таблице Гаусса. Составим таблицу Гаусса. На первом шаге в качестве разрешающего (ведущего) элемента можно выбрать любой коэффициент , например, a_n=1. Тогда первое уравнение (строка) разрешающее. На каждом шаге разрешающее уравнение делится на разрешающий элемент. Исключим соответствующую переменную x₁из всех остальных уравнений путем элементарных преобразований. На каждом следующем шаге выбираем разрешающий элемент в уравнении, которое еще не было в качестве разрешающего. На втором шаге выберем разрешающий элемент а₂₃=1. Исключим переменную х₃из всех уравнений, кроме разрешающего (второго). Аналогично делаем еще два шага, исключая x ₂и x ₄(разрешающие элементы указаны в таблице).

Таким образом, систему уравнений привели к виду:

Система определена и имеет единственное решение: x= (1, -1, 2, 5).

Замечание. Случаи несовместной и неопределенной систем уравнений будет рассмотрен ниже при решении методом модифицированных жордановых исключений.

Задача 2. Решить систему уравнений методом модифицированных жордановых исключений (м.ж.и.).

Решение. Преобразуем систему к виду, удобному для применения м.ж.и.:

Запишем систему уравнений в виде таблицы:

Проведем преобразования методом м.ж.и. указывая на каждом шаге разрешающий элемент (любой, отличный от нуля элемент основной части таблицы, т.е. кроме столба свободных членов). Переход от одной таблицы к другой, т.е. один шаг м.ж.и., проводится по правилам:

1. Разрешающий элемент a _pqзаменяется обратной величиной: .

2. Остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент: .

3. Остальные элементы разрешающего столба делятся на разрешающий элемент и меняют знаки: .

4. Все остальные элементы таблицы вычисляются по формулам (правило прямоугольника): .

В результате одного шага м.ж.и. один нуль (в р -ой) строке переходит на верх таблицы, а на его место - соответствующая неизвестная (в q -ом столбе). Цель - перебросить все нули на верх таблицы.

Выберем разрешающий элемент 1. Следовательно, поменяются местами первый нуль и переменная х ₁. Элементы новой таблицы посчитаем по четырем правилам м.ж.и. Например, вычислим элемент . Для элемента построим прямоугольник:

 -1

2 -3

Столбы под переброшенными на верх нулями (разрешающие) будем опускать за ненадобностью, т.к. для нахождения неизвестных они должны быть умножены на нули. Проделаем возможное число шагов.

В последней таблице все коэффициенты в третьей строке равны нулю, поэтому перебросить оставшийся нуль на верх таблицы нельзя. Так как свободный член в этой строке отличен от нуля (соответствующее уравнение: 0=0× (- х ₂)+0× (- х ₃) -4 Þ 0=-4), то система несовместна.

Указание. Проследить как преобразуется система уравнений за один шаг м.ж.и., для этого записать систему уравнений, соответствующие полученным таблицам. Сравнить с методом Жордана-Гаусса.

Задача 3. Найти все базисные решения системы уравнений:

Решение. Приведем систему к единичному базису; проделав возможное число шагов методом Жордана-Гаусса или жордановых исключений. Проведем преобразования методом м.ж.и. Запишем систему в виде таблицы и сделаем два шага.

С Б

­

С Б

С Б

­

 1

-2

-2

-1

1/5

-3

5 …

-5

-2

-1 

-2/5

Таблица №1

Таблица №2

Таблица №3

В таблице №3 система приведена к единичному базису, т.к. переменные х ₁, х ₂входят только в одно уравнение системы с единичными коэффициентами. Переменные х ₁, х ₂-базисные (основные), х ₃- свободная (неосновная) переменная. Переменные х ₁и х ₂составляют один из базисов системы переменных х ₁, х ₂. Покажем, на данном примере, как записывается общее решение системы. Запишем систему, соответствующую таблице 3: .

В данном случае число уравнений в системе, приведенной к единичному базису, r=2 (ранг системы уравнений), число переменных n =3; r < n, следовательно, система неопределенная. Получим общее решение, положив свободную переменную равной произвольному действительному числу, обозначив его через t: или другая форма записи: , где tÎ R. Система имеет бесконечное множество решений. Из этого множества выделим так называемые базисные решения. При нулевом значении свободной переменной х ₃() получаем одно из базисных решений: (это решение можно выписать из таблицы). Всего базисных решений может быть не более , т.е. .

Другими базисами могут быть следующие группы переменных x ₁, x ₃; x ₂, x ₃(см. замечание). Взяв в таблице 3 разрешающим элементом а ₂₁= -1. Перейдем от базиса х ₁, х ₂к базису х ₁, х ₃(таблица 4). Полагая свободную переменную х ₂равной нулю (х ₂=0), получим еще одно решение: .

C Б	­						С Б
	-1 	3/5						-1	-3/5
	-1	2/5						-1	-1/5
Таблица № 4					Таблица № 5

Выбрав в таблице №4 разрешающий элемент (или в таблице №3 ), перейдем к базису (таблица №5). При получим еще одно базисное решение: . Итак, данная система имеет три базисных решения: , , .

Замечание. Нетрудно заметить, что группа переменных составить базис не может, если при переходе к этому базису элемент, стоящий на пересечении соответствующей строки и столбца, равен нулю.

Задача 4. Решить матричным способом систему уравнений:

Решение. Введем в рассмотрение матрицы:

, , , где – матрица коэффициентов при переменных, а и – матрицы-столбы переменных и свободных членов. Тогда систему можно записать в матричной форме .

Найдем определитель матрицы : , т.е. матрица несобственная (невырожденная) и для матрицы существует матрица обратная. Тогда решение матричного уравнения существует и представимо в виде .

Найдем . Обратную матрицу можно найти путем элементарных преобразований или по формуле: , где -матрица, присоединенная к матрице . Вычислим ее по формуле , где - алгебраические дополнения к элементам матрицы .

.

Рекомендуем проверить правильность нахождения обратной матрицы, исходя из ее определения, т.е. найти или и убедиться в том, что получится матрица единичная.

Следовательно, .

Система определена, имеет единственное решение: .