Тема 2. Векторные пространства.

Определение. Система векторов векторного пространства называются линейно зависимой, если существуют числа , не равные одновременно нулю и такие, что

. (1)

(справа стоит нулевой вектор).

Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, векторы линейно независимы, если равенство (1) справедливо только при

.

Задача 5. Выяснить является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой, в случае линейной зависимости привести пример нетривиальной линейной комбинации, равной нулевому вектору (представить один из векторов в виде линейной комбинации остальных).

1) Дана система векторов: , , .

Решение. Составим линейную комбинацию векторов с коэффициентами , равную :

. (1)

От векторной формы перейдем к координатной:

.

Отсюда, выполнив в левой части преобразования по правилам действий над векторами, на основании равенства векторов получим:

Решая систему уравнений одним из рассмотренных выше методов, найдем, что она имеет только тривиальное решение:

.

Мы получили, что линейная комбинация может быть нулевой только, если все ее коэффициенты равны нулю. По определению линейной независимости система векторов линейно независима.

2) Дана система векторов:

, , .

Решение. Проведя рассуждения и преобразования аналогично предыдущим, получим систему уравнений:

Преобразуем систему, используя алгоритм метода Жордана-Гаусса или жордановых исключений. Сделав два шага, придем к виду:

или

Система приведена к единичному базису, переменные - базисные, - свободная переменная. В данном случае , , следовательно, система неопределенная. Общее решение системы , где , т.е. система имеет не только нулевое решение (тривиальное), и по определению система векторов линейно зависима.

Приведем пример нетривиальной линейной комбинации, равной . Для этого найдем одно из частных нетривиальных решений системы, например, положим в решении системы , получим частное решение и подставим его в равенство (1):

или , т.е.

вектор представлен в виде линейной комбинации векторов и .

Задача 6. Показать, что векторы , , образуют в базис и разложить вектор по этому базису.

Решение. Исходя из определения базиса -мерного пространства надо показать, что 1) число векторов совпадает с размерностью пространства; 2) эти векторы линейно независимы.

Первое очевидно. В том, что система векторов линейно независима, можно убедиться, посчитав определитель, составленный из координат векторов, и убедиться, что он отличен от нуля.

Итак, векторы образуют базис в . Следовательно, можно записать:

.

Перейдем от векторной формы записи к координатной:

.

Отсюда, проведя преобразования в правой части по правилам действий над векторами, получим, учитывая равенство векторов:

Решая систему линейных уравнений с переменными , найдем, что она имеет единственное решение:

.

Следовательно, искомое разложение вектора по базису имеет вид: , или в базисе системы векторов вектор имеет координаты (3, 1, 0).