Задача 2. Теория двойственности

В предлагаемой альтернативной хозяйственной ситуации получите с помощью средств MS Excel (надстройка Поиск решения) оптимальный план производства продукции, проведите экономико-математический анализ оптимального плана с помощью двойственных оценок.

Предприятие выпускает три сорта мороженого: «Шоколадный пломбир», «Белочка» и «Лакомка» и реализует его по цене 57, 53 и 55 руб. за килограмм соответственно. Для производства используются три вида сырья. Расход сырья на производство одного килограмма мороженого и его запасы приведены в таблице:

Требуется:

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум прибыли от реализации продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Построим математическую модель прямой задачи.

Введем управляющие переменные:

- количество произведенного мороженого «Шоколадный пломбир» (кг.),

- количество произведенного мороженого «Белочка» (кг.),

- количество произведенного мороженого «Лакомка» (кг.).

Построим функцию цели. Если реализовать кг мороженого по цене 57 руб./кг, то прибыль составит руб. и т.д. Следовательно, целевая функция - прибыль предприятия – запишется выражением

.

Исходя из требования максимизации прибыли:

.

Построим систему ограничений. Расход каждого вида сырья определяется выражением:

для молока - ,

для масла - ,

для шоколада - .

Так как расход сырья не может превышать количества, которым располагает предприятие, получим систему неравенств:

По смыслу задачи ясно, что переменные могут принимать лишь неотрицательные значения, т.е. , и .

Теперь можно сформулировать математическую модель задачи:

найти

при ограничениях: ,

, и .

Решим задачу с помощью программы Excel «Поиск решения».

Подготовим форму: введем исходные условия задачи, зависимости для целевой функции и левых частей ограничений. Запустим программу Поиск решений.

Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Применим правила построения модели двойственной задачи:

1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи. Введем обозначения: - двойственная оценка -го сырья. Все переменные , и неотрицательны.

2. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений прямой задачи .

3. Прямая задача – на максимум, следовательно, двойственная к ней – на минимум: .

4. Число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных в прямой – 3.

5. В прямой задаче все неравенства в системе ограничений имеют вид «», следовательно, в двойственной задаче – вид «».

6. Матрицы ограничений исходной и двойственной задач являются транспонированными друг к другу:

7. Правыми частями в ограничениях двойственной задачи являются коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи .

Учитывая эти правила, запишем модель двойственной задачи:

найти

при ограничениях

.

Значения двойственных оценок находятся в отчете по устойчивости в столбце «Теневая цена»: , и

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

Как и должно быть в соответствии с Теоремой 1, экстремальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают, значит, оптимальный план двойственной задачи найден верно.

Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Рассмотрим оптимальное решение прямой задачи: , и .

Компоненты оптимального решения основной задачи и положительны, следовательно, два вида мороженого «Шоколадный пломбир» и «Лакомка» рентабельны и их следует производить в указанном количестве. Непроизводительных затрат нет, так как выполняется равенство ,. Действительно:

Нулевое значение означает, что производство мороженого «Белочка» нерентабельно, величина непроизводительных затрат при этом . Действительно . Значит, изготовление 1 кг. мороженого «Белочка» будет снижать достигнутый оптимальный уровень прибыли на 9, 833333 руб.

4. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;