Vector spaces

Начнём с более общего понятия, к которому мы будем время от времени возвращаться, но систематически изучать его не предполагаем: надо же оставить что-то и для высшей школы!

1.1. Модули.

Рассмотрим действие R на G, в котором G не просто «множество», а группа, причём абелева (записываемая аддитивно), а R – не просто группа, а кольцо, причём коммутативное и с единицей.

Т.е., помимо того, что R действует на G как (мультипликативный) моноид (1× g=g " gÎ G и (st)× g=s× (t× g) " s, t Î R, gÎ G), операции сложения в кольце и группе коммутируют с операцией действия: (r₁+r₂) g= r₁× g+r₂× g и r× (g₁+g₂)=r× g₁+r× g₂. Первое из этих равенств означает, что каждый элемент абелевой группы G выступает в качестве гомоморфизма абелевой группы R в абелеву группу G: gÎ Hom(R, G). Второе означает, что каждый элемент кольца R можно рассматривать, как эндоморфизм группы G: rÎ EndG. Иллюстрируют эту ситуацию две схемы:

Упражнение 1.

Являются ли возникающие отображения G®Hom(R, G) и R®EndG гомоморфизмами групп?.

И вот, если мы имеем дело с описанной выше ситуацией (т.е., когда коммутативное кольцо с единицей R действует на абелеву группу G), то говорят, что G – левый R-модуль или левый модуль над кольцом R. Левым его называют только потому, что мы операцию действия записываем так: слева элемент из R, справа – из G. Если бы записывали в обратном порядке, то G бы называлась правым R-модулем.

Естественно подмодулем G назвать такую подгруппу G, которая сама была бы R-модулем. Для этого необходимо и достаточно, чтобы действие R на элементы этой подгруппы не выводило бы их за её пределы. Итак, подгруппа НÍ G называется (левым R-) подмодулем (левого R-) модуля G, если RНÍ Н.

Упражнение 2 (Примеры).

1. Рассмотрим множество всех многочленов с целыми коэффициентами. Проверьте, что это – модуль над кольцом Z. Найдите в нём его подмодули.
2. Любое кольцо является модулем над самим собой.
3. Любая абелева группа является Z-модулем.
4. Левый идеал кольца R является модулем над ним.
5. Пусть a-левый идеал кольца R, М – левый R-модуль. Тогда множество всевозможных конечных сумм aМ={a₁х₁+a₂х₂+…+a_nx_n}, где aiÎ a и x_iÎ M является подмодулем М.

Упражнение 3.

Пусть М - R-модуль, а aÌ R и bÌ R – (левые) идеалы кольца R. Тогда:

a(bМ)=(ab)М и (a+b)М=aМ+bМ.

Упражнение 4.

Если N₁ и N₂ – подмодули М, то a(N₁+N₂)=aN₁+aN₂.

Упражнение 5.

Пересечение R-модулей - R-модуль. Объединение возрастающей цепочки R-модулей - R-модуль.

Упражнение 6.

Пусть N – подмодуль модуля М над R. Дайте определение фактор-модуля М/N. Проверьте его корректность и сам факт того, что построенный фактор-модуль М/N будет действительно R-модулем.