Определение.

Частный случай линейного отображения f, когда V=F (отображаем в поле, над которым V –ЛП) называется линейной функцией или линейной формой или линейным функционалом (последнее чаще всего, когда V бесконечномерно). Выберем какой-нибудь базис { x _i}, iÎ I в V. Пусть уÎ V, у= , в этой сумме лишь конечное число ненулевых слагаемых (отличных от нуля коэффициентов a_i). Положим f(y)=a_i (каждому вектору V ставим в соответствие его коэффициент в разложении по базису при определённом векторе x _i.).

Упражнение 24.

Докажите, что получим при этом линейный функционал.

Упражнение 25.

Пусть L_K(E, V) обозначает множество всех К-линейных отображений из ЛП Е в ЛП V (оба, разумеется, над полем К). Определите естественным образом операцию в L_K(E, V) и действие К на нём, и убедитесь в том, что L_K(E, V) само превратилось в ЛП над К.

Упражнение 26.

Пусть линейная оболочка семейства векторов { е _i}, iÎ I={1, 2,..., n} равна ЛП Е, а { v _i}, iÎ I –произвольная система из n векторов ЛП V. Тогда существует не болееодного линейного f: E®V такого, что f(е _i)= v _i " iÎ I.

Упражнение 27.

Если в условиях предыдущего упражнения векторы е _i линейно независимы (то есть, образуют базис Е), то такое f: E®V существует. Как линейная зависимость может помешать существованию?

Упражнение 28.

a) Пусть fÎ L_K(E, V); gÎ L_K(V, W). Тогда gofÎ L_K(E, W).

Биективные линейные отображения называются, как и прежде, изоморфизмами (только теперь не множеств, групп, или колец, а ЛП) линейных пространств.

Линейные пространства изоморфны, если между ними существует изоморфизм.

b) Конечномерные пространства изоморфны Û они одной размерности.

Упражнение 29.

Если f: E®V – биекция, то существует обратное к нему f^-1: V®E. Докажите, что оно тоже линейно.

Отсюда следует, в частности, что множество К-линейных автоморфизмов Aut_KV само является ЛП относительно композиции. Сравните с L_K(V, V) из упражнения 25. В чём разница?

Упражнение 30.

Ядро и образ линейного отображения f: E®V являются линейными подпространствами соответственно в Е и V.

Упражнение 31*.

Пусть fÎ L_K(E, V) и Е конечномерно. Тогда dimE=dimKerf+dimImf.

(Hint: Chose some basis e₁,..., e_m in Kerf and extend it to basis e₁,..., e_m, e_m+1,...e_m+n in E. Prove f(e_m+1),..., f(e_m+n) make basis for Imf)

В качестве лёгкого (но полезного!) следствия отсюда, покажите, что в случае конечномерных пространств следующие два условия эквивалентны:

а) f: E®V инъективно; b) dimE=dimImf.

В качестве другого следствия, объясните, почему неоднородная система линейных уравнений
всегда разрешима (т.е., имеет решение), когда ассоциированная с ней однородная система имеет только тривиальное (все х_i=0) решение.

И, наконец, отсюда же выведите, что однородная система всегда имеет нетривиальные решения, когда число неизвестных превышает число уравнений.

Упражнение 32.

Сумма двух подпространств определяется также как и их сумма как абелевых подгрупп: как множество всевозможных сумм, в которых первое слагаемое является элементом одной подгруппы, а второе – второй. Докажите, что в результате получится не просто подгруппа (это мы уже доказывали раньше), а именно подпространство.

Def. Следующее понятие относится ко всем прошлым, равно как и ко всем будущим алгебраическим объектам: сумма (подгрупп, подпространств и т.п.) называется прямой, если общим элементом слагаемых является только нейтральный (в данном случае - нулевое подпространство).

Если ЛП Е разлагается в прямую сумму своих подпространств V и W, то это записывается так: E=VÅ W. Значок Å в отличие от простого + служит индикатором того, что сумма – прямая.

При этом подпространства V и W называются дополнениями друг к другу.

Упражнение 33*.

Пусть имеются два подпространства пространства V; V₁Ì V и V₂Ì V. Тогда dim(V₁+V₂)=dimV₁+dimV₂-dim(V₁Ç V₂)

(Hint: extend basis e₁,..., e_m of V₁Ç V₂ to bases of V₁ and V₂. Prove that the whole set makes a basis for V1+V2)

Далее идут три лёгкие упражнения.

Упражнение 34.

Пространство V разлагается в прямую сумму своих подпространств V₁Ì V и V₂Ì V; V=V₁Å V₂ если и только если каждый вектор х пространства V можно и при том единственным способом представить в виде суммы двух векторов х=х₁+х₂ где х₁Î V_1, а х₂Î V₂.

Упражнение 35.

Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Тогда dimV=dimW+dimV/W, где за V/W обозначено, как обычно, фактор-пространство V по подпространству W. (См. упр. 6 и 9)

Def. Размерность фактор-пространства V/W называется коразмерностью подпространства W в V и обозначается как codimW. Таким образом, codimW=dimV/W.

Def. Одномерные векторные подпространства называются прямыми, двумерные – плоскостями, подпространства коразмерности 1 – гиперплоскостями. Векторы, принадлежащие одной и той же прямой, называются коллинеарными, одной и той же плоскости – компланарными. Имеет ли смысл вопрос о компланарности пары векторов? Почему?

Упражнение 36.

Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Тогда dimW£ dimV. Если W – собственное подпространство пространства V, то dimW< dimV. В V существуют подпространства всех размерностей, от 0 до dimV.

А теперь установим связь между линейными отображениями и матрицами. Пусть f: E®V К-линейное отображение конечномерных ЛП. Пусть в каждом из них выбраны базисы; е ={ e₁, e₂,..., e_n } в E и v ={ v₁, v₂,..., v_m } в V. Тогда вектор f(e₁), например, разлагается по выбранному в V базису, f(e₁)=a₁₁ v₁+ a₂₁ v₂+...+ a_m1 v_m. Соответственно, f(e_j)= . NB! Заметьте, что мы спускаемся вниз по j-му столбцу матрицы (a_ij)! Возникла матрица (a_ij)из m строк и n столбцов, зависящая от отображения f и базисов e и v; B(f, e, v)=(a_ij).

Упражнение 37.

Пусть xÎ E – вектор ЛП Е, x=x₁e₁+x₂e₂+...+x_ne_n – его разложение по базису е с компонентами { x _i}, i=1, 2,..., n. Запишем их в виде столбца X– матрицы (n´ 1): . Вектор f(x) разложим в V по базису v; f(x)=y₁v₁+y₂v₂+...+y_mv_m; . Проверьте, что (a_ij)X=Y.

Упражнение 38.

Выбор базисов е ={ e₁, e₂,..., e_n } в E и v ={ v₁, v₂,..., v_m } в V определяет изоморфизм L_К(E, V)
K-линейных отображений из Е в V и (n´ m) матриц с компонентами из К как ЛП над К.

С другой стороны, если у нас имеются три ЛП E, V и Wи в них три базиса е ={ e₁, e₂,..., e_n }, v ={ v₁, v₂,..., v_m } и w ={ w₁, w₂,..., w_k } соответственно, то каждой матрице А=(a_ij)из n строк и m столбцов, a_ijÎ К, соответствует линейное отображение f _{A, e, v}Î L_К(E, V) , где Х – вектор с координатами { x _i} относительно базиса е, а координаты вектора АХ вычислены относительно базиса v. Точно также, каждой матрице B=(b_{r, s}) из m строк и k столбцов, (b_{r, s})Î К, соответствует линейное отображение g _{B, v, w}Î L_К(V, W).

Упражнение 39.

Докажите, что имеет место (при выбранных базисахе, v и w) h_ВА=g_Bof_A.
(Отображение, отвечающее произведению матриц в данном порядке совпадает с композицией отображений, соответствующих матрицам А и В).

Упражнение 40.

Пусть В – матрица, а Х – столбец, для которого определён столбец ВХ (см. упр. 36) и пусть А – матрица такая, что определено АВ. Тогда определёны А(ВХ) и (АВ)Х и А(ВХ) = (АВ)Х.

Упражнение 41*.

Пусть { x _i}, iÎ I={1, 2,..., n} - базис в V; A=(a_ij) матрица n´ n и .

Докажите, что {у_i}- базис в V Û матрица А обратима.

Заметьте, что поскольку множество матриц, равно как и множество линейных операторов не образует группу по умножению, поэтому из существования левого обратного элемента не следует существование правого и их равенство. Тем не менее, в качестве следствия из вашего доказательства, выведите, что в данном случае это, тем не менее, так:

Упражнение 42.

Если для квадратной матрицы А существует матрица В такая, что АВ=I, то и ВА=I.

Введём обозначения (для следующего упражнения).

Пусть f: E®V - К-линейное отображение конечномерных ЛП. Пусть в каждом из них выбраны базисы; е ={ e₁, e₂,..., e_n } и v ={ v₁, v₂,..., v_m }. Матрицу (a_ij) ассоциированную с этим f и с этими базисами обозначим как . Пусть x Î E – вектор ЛП Е, x =x₁ e ₁+x₂ e ₂+...+x_n e _n – его разложение по базису е. Столбец его компонент обозначим как А_e(x). В этих обозначениях А_v(f(x))= ·А_e(x).

Упражнение 43. (Сравни с упражнениями 39 и 40)

Пусть отображения конечномерных ЛП над полем К; е, v и w – их базисы соответственно. Тогда .

Теперь займёмся вопросом, как меняется матрица линейного оператора в зависимости от базиса. Итак, сейчас у нас E=V=W. Тождественное отображение, как обычно, обозначим как id.