Связь с линейными уравнениями.

Рассмотрим обычную систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(А). Её можно переписать как . Теперь видно, что её решение можно трактовать как решение векторного уравнения: при заданной матрице линейного оператора g~ ;
g: K²®K², записанной в стандартном базисе t₁ =(1, 0); t₂ =(0, 1) и векторе h =e × t₁ +f × t₂, найти такой вектор z= х × t₁+ у × t₂, что g(z)= h. Понятно, что достаточно найти обратную матрицу (если её det¹ 0) – это будет матрица обратного к g оператора g^-1 и применить её к вектору h: z= g^-1 (h). На геометрическом языке интерпретацию ситуации иллюстрирует рисунок: дан линейный оператор g, который пару чёрных векторов, образующих базис, переводит в пару красных векторов. Дан серый вектор h с координатами е и f. Требуется найти координаты (всё в том же чёрном, первоначальном базисе, к которому отнесены все изображённые на рисунке вектора) неизвестного вектора z, который g преобразует в h. Систему уравнений, в которой правая часть заменена нулевым вектором: (В).
Систему (В) называют однородной, ассоциированной с (А). Она всегда имеет нулевое решение. Более того, множество её решений всегда образует векторное подпространство (в данном случае, нульмерное, одномерное или двумерное). Что это за ЛП? Как оно называется? (Оно имеет название, и вы его знаете!). Пусть v - некоторое решение системы (А), а w – решение системы (B). Тогда

Упражнение 58. v+w – тоже решение системы(А), причём любое решение (А) имеет такой вид: общее решение = частное решение v+W – подпространство решений системы (В).

Все рассуждения легко и непринуждённо переводятся на случай m уравнений с n неизвестными.

Упражнение 59

Однородная система всегда имеет нетривиальное (отличное от 0) решение, если число неизвестных превосходит число уравнений.

Эту задачу можно решить, не опираясь на предыдущие упражнения (независимо от предыдущего) и весьма полезным и поучительным методом. Исключите одно неизвестное из всех уравнений, кроме первого, докажите, что исходная система уравнений и новая система эквивалентны (т.е. решение одной является и решением для другой) и используйте индукцию по числу неизвестных.

Упражнение 60

Система неоднородных уравнений

имеет решение Û ранг матрицы

равен рангу «расширенной» матрицы .

Дальнейшее исследование вопроса упирается в необходимость построения теории определителей. Для этого надо сначала найти определитель квадратной матрицы третьего порядка (тем же способом, что нашли для второго, т.е. решив в данном случае систему из трёх уравнений с тремя неизвестными), затем внимательно его изучить, сравнить с определителем второго порядка, и затем попытаться распространить определение на случай матрицы размера n´ n
а)непосредственно, усмотрев некоторую особенность в выражении для определителей,
б) индуктивно, заметив, как можно получить определитель третьего порядка, исходя из второго, и, наконец,
в) посмотрев на определитель как на функцию от его векторов-столбцов.
Затем проверим, что все дороги ведут к одному и тому же понятию. Итак,

Упражнение 61

Найти условие на компоненты матрицы , при котором она обратима.

1.7. Инвариантные подпространства.

Def. Подпространство WÌ V называется инвариантным относительно оператора А: V®V, если А(W)Ì W. Примеры. Всегда инвариантны всё пространство V и его нулевое подпространство. Кроме них (их называют тривиальными) у различных линейных операторов могут быть, а может и не быть инвариантных подпространств. Проверьте на наличие нетривиальных инвариантных подпространств следующие ЛП и их линейные операторы.