Полилинейные формы.

Мы уже познакомились с линейными формами f: V®K, билинейными формами f: (V´ V)®K.

Def. Отображение f: (V´ V´ …´ V)®K называется полилинейным или n-линейным (по числу сомножителей в скобках – экземпляров одного и того же ЛП V над полем К) или полилинейной формой, если оно линейно по каждой переменной-вектору при фиксированных остальных (т.е., превращается в линейную форму). Если мы фиксируем все переменные, кроме двух, то получим билинейную форму на этих двух переменных.

Def. Форма f называется знакопеременной, если f(x₁, x₂,..., x_n)=0 всякий раз, когда две каких-либо соседних переменных (векторных!) равны (т.е., x_i=x_i+1 при каком-то i, 1£ i£ n-1.)

Упражнение 70. Пустьf: (V´ V)®K – знакопеременная билинейная форма. Докажите, что f(x, y)=-f(y, x).

Упражнение 71. Если мы переставляем два соседних аргумента n-линейной знакопеременной формы, то она меняет знак: f(…, x_i, x_i+1,...)=- f(…,, x_i+1, x_i,...).

Упражнение 72. Еслиx_i=x_jдля i¹ j, то f(x₁,..., x_n)=0 (т.е., обращается в нуль не только при равенстве двух соседних аргументов, а при равенстве любых двух аргументов).

Упражнение 73. Значение f(x₁,..., x_n)не изменится, если заменить х_i на х_i+aх_j, а все остальные аргументы при этом оставить прежними.
Упражнение 74. Найдите выражение для знакопеременной билинейной формы f (v, w), как функции координат векторов v и w, где v, wÎ К² и заданы столбцами матрицы : v=ae₁+ce₂; w=be₁+de₂. На единичной матрице она должна принимать значение 1: . Справившись с этой задачей, сделайте то же самое для знакопеременной трилинейной формы f(v, w, z), где v, w, zÎ К³ и заданы столбцами матрицы 3´ 3. Попробуйте распространить ваш результат для
n-линейной знакопеременной формы f(x₁, x₂,..., x_n), где все x_iÎ Кⁿ и заданы столбцами матрицы n´ n.