Упражнение 51.

dimV=n, fÎ V*- линейный функционал.Þ dimKerf=n-1.

Def. Пусть имеется линейное отображение линейных пространств f: E®V. Оно индуцирует (порождает) линейное отображение сопряжённых линейных пространств f_*: V^*®E^* следующим образом. Берём v*Î V^*. Надо определить f_*(v*). Раз это должен быть элемент из Е^*, то это – линейный функционал на Е. Задать его, значит определить его значения на каждом элементе из Е. Берём еÎ Е. Ему соответствует f(е)Î V.

А v*-то – это как раз линейный функционал на V, то есть известно его значение на f(е); v*(f(е))Î К. Вот это-то значение и поставим в соответствие элементу е как значение функционала f_*(v*). Итак, по определению, f_*(v*)(е)= v*(f(е)). Поскольку равенство функций и означает совпадение их областей определения и их значений на всех аргументах, это тождество можно переписать как f_*(v*)= v*of.

Упражнение 52*.

Пусть последовательность точна. Тогда индуцированная последовательность также точна.

Def. Пусть V и W – два ЛП над К и пусть задано отображение V´ W®K; (v, w) .

Оно называется билинейной формой, если при фиксированном одном аргументе оно является линейным по второму. Иначе говоря, " vÎ V отображение w Î W^* и " wÎ W отображение v Î V ^*. Таким образом, имеем отображения c: V®W^* и f: W®V^*. Пусть SÌ W – некоторое подмножество. Элемент vÎ V называется перпендикулярным или ортогональным к подмножеству S, если " sÎ S. Обозначим S^{^} множество всех таких v.

Упражнение 53.
S^{^}- подпространство в V. c и f - линейные отображения.

Def. Ядро слева билинейной формы определяется, какW^{^}, ядро справа – как V^{^}. Форма называется невырожденной слева (соответственно, справа), если W^{^}=0 (соответственно, V^{^}=0).