Операции над множествами

Во многих случаях удается избежать противоречий наивной теории множеств, если выбрать некоторое так называемое универсальное множество и ограничиться рассмотрением только его подмножеств.

Если некоторые множества взять в качестве исходных, то из них можно получить новые с помощью следующих операций.

Объединением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или :

.

Вместо символа объединения используется также символ +.

Пересечением множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств и :

.

Для операции пересечения используются также другие обозначения:

.

Аналогично определяются объединение и пересечение произвольной совокупности множеств , . Здесь – множество индексов. Если – множество первых натуральных чисел, то употребляются обозначения и , а в случае если , то будем писать и .

Разностью множеств и (обозначение ) называется множество, состоящее из всех элементов , не принадлежащих :

.

В отличие от двух предыдущих операций разность некоммутативна: . Если , то .

Симметрической разностью множеств и (обозначение ) называется множество элементов и , которые содержатся только в одном из этих множеств:

.

Дополнением к множеству (обозначение ) относительно универсального множества называется множество:

или .

Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами. Так как операция разности не обладает свойством ассоциативности, то ее выражают через другие операции, например, операции дополнения и пересечения:

.

Универсальное множество позволяет геометрически изображать множества и операции над ними с помощью диаграмм Венна (рис. 1).

Рис. 1. Диаграммы Венна