Прямое произведение множеств

Прямым произведением множеств и называют множество , элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары , такие, что , :

Эта операция над множествами, в отличие от рассмотренных ранее, изменяет природу элементов: в новом множестве элементами являются пары.

Прямое произведение в общем случае не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности: , .

Пусть теперь даны множеств: . Упорядоченный набор из элементов, таких, что , , …, , называется вектором или кортежем. Множество таких векторов представляет собой прямое произведение множеств :

Если , то множество называется степенью (прямой) множества и обозначается через .

Проекцией вектора на -ю ось (обозначение ) называется его компонента. Проекцией вектора на оси с номерами называется вектор длины (обозначение ).

Пусть – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов на -ю ось: . Аналогично определяется проекция множества на несколько осей: .

Пример 1. Пусть .Тогда прямым произведением является множество точек плоскости, то есть пар вида , где и являются координатами точек плоскости.

Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Р. Декартом, является исторически первым примером прямого произведения. Потому прямое произведение называют также декартовым.

Пример 2. Пусть , . Тогда – множество, содержащее обозначения всех 64 клеток шахматной доски.