Спектральная плотность сигнала. Преобразование Фурье

Рис. 1.16 Импульсная последовательность

Одиночный импульсный сигнал получим путем устремления Т → ∞ (рис. 1.16). Тогда гармоники nω ₁ и (n + 1)ω ₁ можно считать близкими друг к другу, а nω ₁ → ω (становится текущим значением частоты). Амплитуды в этом случае являются малыми величинами, т.к.

в ряде (1.33).

Учитывая, что коэффициенты Фурье образуют комплексно-сопряженные пары и , отображающие гармоническое колебание, то справедливо соотношение

с комплексной амплитудой . Здесь – действительная амплитуда.

В малом интервале частот ∆ ω содержится

пар спектральных компонент. Частоты этих компонент отличаются сколь угодно мало, и можно складывать компоненты так, как если бы они имели одну и ту же частоту и характеризовались одинаковыми комплексными амплитудами

Тогда комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных компонент из ∆ ω, можно записать в виде

Величину

(1.37)

отражающую амплитудное содержание сигнала ) в полосе частот, называют его спектральной плотностью.

Выражение (1.37) известно еще как преобразование Фурье сигнала , в котором спектральная плотность является масштабным множителем, связывающим малую длину интервала ∆ ω и отвечающую ему комплексную амплитуду гармонического сигнала на центральной частоте