Оптимальная фильтрация случайных сигналов при не известной заранее форме полезного сигнала

Реальные сигналы такие как, например, сигналы с энцефалографа, микрофона или с телевизионной камеры являются типичными реализациями некоторого стационарного эргодического ансамбля. Информация о совокупности возможных сигналов заключена в энергетическом спектре (или в функции автокорреляции). Кроме того, в радиоканале действует помеха . Энергетические спектры полезного сигнала и помехи различаются на частотной оси, поэтому возможна постановка задачи оптимальной фильтрации (поиск стационарного линейного фильтра, выделяющего случайный полезный сигнал некоторым наилучшим образом).

Считаем, что случайные процессы на входе и взаимно некоррелированы.

Обозначим выходной сигнал , тогда сигнал ошибки:

Оптимальный фильтр выберем таким образом, чтобы дисперсия сигнала ошибки была минимальной:

Принцип получения сигнала ошибки рассмотрим на структурной схеме, изображенной на рис. 3.30

Рис. 3.30 К выводу оптимального коэффициента передачи

На входе фильтра с частотным коэффициентом передачи действуют два случайных сигнала - полезная информация и – помеха. Энергетический спектр ошибки складывается из энергетических спектров сигналов, проходящих на выход по двум каналам

Воспользуемся представлением коэффициента передачи в виде

выражение стремится к минимуму при , т.е. оптимальный фильтр должен вносить нулевой фазовый сдвиг на всех частотах. Тогда выражение для дисперсии сигнала ошибки

Обозначим подынтегральное выражение и определим оптимальное значение из условия получим

Минимизация дисперсии ошибки приводит к результату

или для односторонних спектров

Смысл поведенной оптимизации следует из рис. 3.31

Рис. 3.31 Оптимальный частотный коэффициент передачи

Модуль частотного коэффициента передачи оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку, должен быть значительным на частотах, на которых сосредоточена основная доля мощности полезного сигнала на входе, и минимальна на частотах, где велика спектральная плотность мощности помехи.