Течение Пуазейля

Если рассматривать пространственное движение вязкой жидкости, описываемое уравнениями Навье – Стокса, то их решение возможно лишь численными методами и достаточно сложно. Однако, существуют задачи, в которых удаётся значительно упростить эти уравнения и получить аналитические решения. К числу таких задач относится движение вязкой жидкости в трубах.

, . (5.14)

Из уравнения неразрывности (1.16), которое, с учётом (5.14), примет вид

(5.15)

следует, что не зависит от z, а из предположения о симметричности течения, не зависит и от 𝛉, следовательно,

(5.16)

Полученные условия (5.14) и (5.15), устанавливающие значения составляющих скорости в рассматриваемой задаче, позволяют значительно упростить уравнения движения Навье – Стокса и привезти их к виду

(5.17)

Интегрируя дважды последнее уравнение, приходим к определению скорости движения жидкости в трубе

При любом r скорость течения конечна, что нарушается при r=0 (ось трубы), следовательно, для реализации физически реального течения необходимо, чтобы . Неизвестную постоянную определим из условия прилипания на стенках трубы V где R- радиус трубы

.

Следовательно, закон распределения скорости при течении вязкой жидкости в трубе определяется соотношением

(5.18)

Из (5.18) следует, что максимальная скорость достигается на оси трубы (r=0)

(5.19)

Так как то согласно (5.19) , то есть при течении жидкости в трубе происходит падение давления. Определим закон изменения давления вдоль трубы, предварительно вычислив расход жидкости

(5.20)

Если представить, , то , откуда

, (5.21)

где – средняя скорость течения. Формула (5.21) носит название формулы Пуазейля. Формула (5.21) позволяет сформулировать закон Пуазейля.

При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе падение давления вдоль оси трубы прямо пропорционально секундному объёму протекающей жидкости и длине отрезка трубы и обратно пропорционально четвёртой степени радиуса трубы.

(5.22)

6. Основы теории расчёта газостатических опор