Уравнение Рейнольдса

Полученную систему уравнений (6.9) (6.10), содержащую лишь давление и силы вязкого трения, можно преобразовать и свести к одному уравнению относительно функции давления. Проделаем преобразования для случая упорного подшипника. Пусть одна из смазываемых поверхностей неподвижна, а другая, вращаясь с угловой скоростью ⍵. Исходя из условия прилипания частиц газа на смазываемых поверхностях, граничные условия для скорости имеют вид:

на подвижной поверхности при z=H

(6.11)

на неподвижной поверхности при z=0

(6.12)

Полученные значения скоростей позволяют усреднить по толщине слоя уравнения неразрывности (6.10)

(6.13)

Используя формулу

(6.14) приходим к соотношению

(6.15)

Входящие в соотношение составляющие скорости, выразим из уравнений системы (6.9) Используя граничные условия радиальной составляющей скорости на поверхностях подшипника при z=0 и z=H, с учётом постоянства давления по толщине слоя , устанавливаем

(6.16)

после интегрирования приходим к значению радиальной составляющей скорости

(6.17)

Исходя из граничных условий, , и, следовательно,

(6.18)

Интегрируя дважды второе уравнение системы (6.9) по z, с учётом граничных условий

при z =0 и при z=H, (6.19)

получим значение окружной составляющей скорости

(6.20)

При этом с учётом

(6.21)

Значение на подвижной смазываемой поверхности, с учётом (6.21), равно

, (6.22)

Подставляя найденные значения составляющих скорости в соотношение (6.15), после преобразования получим

(6.23) Дифференциальное уравнение (6.23) описывает распределение давления газа в зазоре упорного газостатического подшипника и называется уравнением Рейнольдса.