Циркуляционное обтекание кругового цилиндра

Рассмотрим течение полученное суперпозицией поступательного потока, диполя и вихревой точки, то есть к исследованному течению обтекания кругового цилиндра добавим циркуляционный поток с центром в начале координат. Комплексный потенциал такого течения имеет вид

(4.33)

При Γ > 0 циркуляция направлена против хода часовой стрелки, при этом сопряжённая скорость определяется соотношением

(4.34)

Положение критических точек (V=0) определим из условия

, (4.35)

которое можно представить в виде квадратного уравнения

,

с корнями

. (4.36)

Значения корней и зависят от величины циркуляции скорости Γ, при этом возможны три случая обтекания цилиндра:

1. , подкоренное выражение отрицательно, оба корня мнимые

Критические точки на поверхности цилиндра отсутствуют.

2. , подкоренное выражение равно нулю, , следовательно, критические точки совмещены в одну, лежащую на поверхности цилиндра и оси y-ов.(рис.4.29)

3. , если ввести параметр ԑ < 1, то и

, (4.38)

при этом ⎸ z⎸ =ɑ, то есть обе критические точки лежат на поверхности цилиндра симметрично оси y-ов (Рис.4.30.). Если циркуляцию Γ → 0, то критические точки расположатся на оси х-ов и реализуется случай бесциркуляционного обтекания. Как видно из рисунков при циркуляционном обтекании цилиндра симметрия течения сохраняется лишь относительно оси oy. Скорости циркуляционного и поступательного потоков под цилиндром складываются, а над цилиндром вычитаются. Учитывая, что согласно интегралу Бернулли – Эйлера с возрастанием скорости давление падает, под цилиндром оно будет меньше чем над цилиндром. Следовательно, равнодействующая сил давления R будет направлена вдоль оси оу вниз, а если Γ < 0, то вверх. Определим величину равнодействующей сил давления

; ; (4.39)

Учитывая, что на поверхности цилиндра

,

и исходя из интеграла Бернулли – Эйлера, распределение давления на поверхности цилиндра можно представить в виде
. (4.40)

Подставив в формулу для значение P, устанавливаем

(4.41)

Полученная при исследовании течения поперечная сила R (эффект Магнуса), является результатом того перераспределения давлений по поверхности цилиндра, которое вызвано действием присоеденённого к потенциальному потоку вихря. Можно предположить, что внося в потенциальный поток некоторую систему вихрей, получать течения близкие к реальным. Так, например, эффект Магнуса реализуется при полёте вращающегося мяча, искривляя его траекторию, снаряда. Построена яхта, в которой паруса заменены вращающимися цилиндрами.