Бесциркуляционное обтекание кругового цилиндра

Наложим плоский поступательный поток жидкости, определяемый, комплексным потенциалом

(4.21)

двигающийся со скоростью на бесконечности на течение определяемое диполем с комплексным потенциалом

, (4.22)

где М > 0, что соответствует вытеканию жидкости из диполя навстречу набегающему потоку. Комплексный потенциал сложного течения примет вид

, (4.23)

при этом семейство линий тока определяется соотношением

. (4.24)

Нулевая линия тока, определяемая соотношением

(, (4.25)

распадается на окружность

(4.26)

и ось х-ов при y=0. Если принять радиус окружности равным ɑ, то из условия

(4.27)

можно определить неизвестный момент диполя . Рассматривая течение вне окружности, то есть ⎸ z ⎸ ≥ ɑ и заменяя круговую линию тока на твёрдые стенки, приходим к течению обтекания кругового цилиндра поступательным потоком идеальной жидкости (рис.4.20) с комплексным потенциалом

, ⎸ z ⎸ ≥ ɑ. (4.28)

Зная комплексный потенциал течения, можно определить распределение скоростей на поверхности цилиндра. Действительно

(4.29)

С учётом того, что на поверхности цилиндра , а также, что

; ⎸ ,

получим

.

Следовательно, модуль скорости на поверхности цилиндра определяется соотношением

, (4.30)

где – угол между осью х-ов и радиусом – вектором. Из полученной формулы следует, что при обтекании цилиндра идеальной жидкостью скорость на его поверхности распределяется по закону синуса. В точках А (𝛉 =π) и В (𝛉 =0) скорость частиц жидкости равна нулю и они являются критическими. В точках С (𝛉 =π /2) и D (𝛉 =- π /2) скорости частиц жидкости достигают максимального значения . Исходя из интеграла Бернулли–Эйлера для стационарного, потенциального течения несжимаемой жидкости (⍴ =const),

, (4.31)

можно определить распределение давления на поверхности цилиндра либо в виде

(4.31)

или в виде безразмерного коэффициента давления

. (4.32)

Как видно из представленных формул распределение давление на контуре зависит лишь от угла 𝛉. В критических точках А и В давление максимально и равно скоростному напору , при этом . В точках С и D давление не просто уменьшается, а переходит в разрежение, при этом (рис.4.21). Суммарная сила давления, действующая на цилиндр

,