Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона і рівномірно неперервна на цьому відрізку.

Доведення. Нехай для деякого визначеного числа не існує такого числа , про яке йде мова в означенні рівномірної неперервності. У такому випадку для будь-якого числа знайдуться такі два значення , що , але .

Візьмемо послідовність додатних чисел, збіжну до нуля, . Для кожного знайдуться в значення такі, що , але . Оскільки кожне належить відрізку , то послідовність , про яку йде мова, обмежена. Отже, із неї можна вибрати підпослідовність, збіжну до деякої точки , яка належить відрізку . Для спрощення позначень будемо вважати, що сама послідовність збігається до . Оскільки , то і . Отже, послідовність також збігається до . Тоді за неперервністю функції на відрізку й із того, що , випливає: і .

Звідси маємо , що суперечить тому, що за припущенням для всіх значень .

Звернемо увагу на те, що наведена теорема не виконується, якщо замість відрізка узяти інтервал чи один із півінтервалів .

Приклад. Функція неперервна на інтервалі , але вона не є на цьому інтервалі рівномірно неперервною. Дійсно, нехай фіксоване. Тоді б яке ми не взяли, завжди знайдуться точки , достатньо близькі до нуля, і такі, що , але .

Наслідок. Нехай функція визначена та неперервна на відрізку . Тоді за заданим знайдеться таке , що при розбитті відрізка на частинні відрізки, які не мають спільних точок або мають єдину спільну точку і довжини яких менші від , коливання функції на кожному із частинних відрізків буде меншим від .